3142. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: $A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C) .$

REŠENJE ZADATKA

Započećemo dokaz transformacijom desne strane jednakosti. Koristićemo definiciju razlike skupova, koja glasi $X \setminus Y = X \cap Y^c ,$ gde je $Y^c$ komplement skupa $Y .$

(A \cap B) \setminus (A \cap C) = (A \cap B) \cap (A \cap C)^c

Primenjujemo De Morganov zakon na izraz $(A \cap C)^c .$ Prema ovom zakonu, komplement preseka jednak je uniji komplemenata: $(A \cap C)^c = A^c \cup C^c .$

= (A \cap B) \cap (A^c \cup C^c)

Sada primenjujemo zakon distributivnosti preseka prema uniji, koji glasi $X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z) .$

= ((A \cap B) \cap A^c) \cup ((A \cap B) \cap C^c)

Koristeći asocijativnost i komutativnost preseka, grupišemo elemente u prvom delu izraza kako bismo spojili skup $A$ i njegov komplement $A^c .$

= ((A \cap A^c) \cap B) \cup (A \cap B \cap C^c)

Presek skupa i njegovog komplementa je prazan skup, odnosno $A \cap A^c = \emptyset .$

= (\emptyset \cap B) \cup (A \cap B \cap C^c)

Presek bilo kog skupa sa praznim skupom je prazan skup ( $\emptyset \cap B = \emptyset$ ).

= \emptyset \cup (A \cap B \cap C^c)

Unija bilo kog skupa sa praznim skupom je taj isti skup.

= A \cap B \cap C^c

Grupišemo preostale elemente i ponovo primenjujemo definiciju razlike skupova unazad ( $B \cap C^c = B \setminus C$ ).

= A \cap (B \cap C^c) = A \cap (B \setminus C)

Ovim smo pokazali da se desna strana može transformisati u levu, čime je tražena skupovna jednakost dokazana.

A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)

51.d