1845.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Obim jednog vrta oblika pravougaonika iznosi 280 m. 280 \text{ m} . Duž obima, sa unutrašnje strane, izgrađena je aleja širine 1 m. 1 \text{ m} . Preostali deo obradive površine vrta iznosi 3255 m2. 3255 \text{ m}^2 . Kolike su dimenzije vrta?

REŠENJE ZADATKA

Neka su a a i b b dimenzije vrta. Obim pravougaonika je O=2a+2b. O = 2a + 2b . Na osnovu datog obima postavljamo jednačinu:

2a+2b=2802a + 2b = 280

Deljenjem jednačine sa 2 i izražavanjem b b preko a a dobijamo:

a+b=140  ⟹  b=140−aa + b = 140 \implies b = 140 - a

Pošto je aleja širine 1 m 1 \text{ m} izgrađena sa unutrašnje strane duž celog obima, dimenzije preostalog obradivog dela su smanjene za po 2 m 2 \text{ m} (po 1 m 1 \text{ m} sa svake strane). Nove dimenzije su a−2 a - 2 i b−2. b - 2 .

a′=a−2,b′=b−2a' = a - 2, \quad b' = b - 2

Površina preostalog dela je 3255 m2, 3255 \text{ m}^2 , pa važi:

(a−2)(b−2)=3255(a - 2)(b - 2) = 3255

Zamenjujemo b=140−a b = 140 - a u jednačinu za površinu:

(a−2)(140−a−2)=3255(a - 2)(140 - a - 2) = 3255

Sređujemo izraz u zagradi i množimo binome kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

(a−2)(138−a)=3255138a−a2−276+2a=3255−a2+140a−276−3255=0−a2+140a−3531=0a2−140a+3531=0\begin{aligned} (a - 2)(138 - a) &= 3255 \\ 138a - a^2 - 276 + 2a &= 3255 \\ -a^2 + 140a - 276 - 3255 &= 0 \\ -a^2 + 140a - 3531 &= 0 \\ a^2 - 140a + 3531 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po a: a :

a1,2=140±(−140)2−4⋅1⋅35312=140±19600−141242=140±54762=140±742a_{1,2} = \frac{140 \pm \sqrt{(-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3531}}{2} = \frac{140 \pm \sqrt{19600 - 14124}}{2} = \frac{140 \pm \sqrt{5476}}{2} = \frac{140 \pm 74}{2}

Računamo moguća rešenja za a a i odgovarajuće vrednosti za b: b :

a1=2142=107  ⟹  b1=140−107=33a2=662=33  ⟹  b2=140−33=107\begin{aligned} a_1 &= \frac{214}{2} = 107 \implies b_1 = 140 - 107 = 33 \\ a_2 &= \frac{66}{2} = 33 \implies b_2 = 140 - 33 = 107 \end{aligned}

U oba slučaja dobijamo iste dimenzije pravougaonika. Dimenzije vrta su:

a=107 m,b=33 ma = 107 \text{ m}, \quad b = 33 \text{ m}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti