1842.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Dvocifreni broj je tri puta veći od zbira svojih cifara, a kvadrat zbira tih cifara je jednak trostrukom traženom broju. Odrediti taj broj.

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi dvocifreni broj 10x+y, 10x + y , gde su x x i y y njegove cifre, pri čemu je x∈{1,2,…,9} x \in \{1, 2, \dots, 9\} i y∈{0,1,…,9}. y \in \{0, 1, \dots, 9\} .

Prema prvom uslovu zadatka, dvocifreni broj je tri puta veći od zbira svojih cifara.

10x+y=3(x+y)10x + y = 3(x + y)

Prema drugom uslovu, kvadrat zbira cifara je jednak trostrukom traženom broju.

(x+y)2=3(10x+y)(x + y)^2 = 3(10x + y)

Radi lakšeg rešavanja, uvodimo smenu gde je S=x+y S = x + y zbir cifara, a N=10x+y N = 10x + y traženi broj. Sistem jednačina tada postaje:

{N=3SS2=3N\begin{cases} N = 3S \\ S^2 = 3N \end{cases}

Zamenom prve jednačine u drugu dobijamo jednačinu po nepoznatoj S. S .

S2=3(3S)  ⟹  S2=9SS^2 = 3(3S) \implies S^2 = 9S

Prebacivanjem svih članova na levu stranu i faktorisanjem rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

S2−9S=0  ⟹  S(S−9)=0S^2 - 9S = 0 \implies S(S - 9) = 0

Rešenja ove jednačine su S=0 S = 0 i S=9. S = 9 . Kako zbir cifara dvocifrenog broja ne može biti nula, jedino moguće rešenje je S=9. S = 9 .

S=9S = 9

Sada kada znamo zbir cifara, računamo traženi broj N N koristeći prvu jednačinu.

N=3S=3⋅9=27N = 3S = 3 \cdot 9 = 27

Proveravamo da li broj 27 ispunjava uslove. Njegove cifre su x=2 x = 2 i y=7, y = 7 , a njihov zbir je 2+7=9. 2 + 7 = 9 . Broj 27 je zaista dvocifren, pa je ovo konačno rešenje.

N=27N = 27

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti