1841. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka su traženi brojevi $x$ i $y .$ Na osnovu teksta zadatka postavljamo sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 400 \\ (x + 6)^2 + (y + 8)^2 = 900 \end{cases}

Kvadriramo binome u drugoj jednačini:

x^2 + 12x + 36 + y^2 + 16y + 64 = 900

Grupišemo članove tako da možemo iskoristiti prvu jednačinu:

(x^2 + y^2) + 12x + 16y + 100 = 900

Zamenjujemo $x^2 + y^2$ sa $400 :$

400 + 12x + 16y + 100 = 900

Sređujemo dobijenu jednačinu:

12x + 16y = 400

Delimo jednačinu sa $4$ da bismo je pojednostavili:

3x + 4y = 100

Izražavamo promenljivu $x$ preko $y :$

x = \frac{100 - 4y}{3}

Zamenjujemo izraz za $x$ u prvu jednačinu sistema:

\left(\frac{100 - 4y}{3}\right)^2 + y^2 = 400

Kvadriramo razlomak:

\frac{10000 - 800y + 16y^2}{9} + y^2 = 400

Množimo celu jednačinu sa $9$ kako bismo se oslobodili razlomka:

10000 - 800y + 16y^2 + 9y^2 = 3600

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $y :$

25y^2 - 800y + 6400 = 0

Delimo jednačinu sa $25 :$

y^2 - 32y + 256 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma:

(y - 16)^2 = 0

Rešavamo jednačinu po $y :$

y = 16

Računamo vrednost za $x$ zamenom $y = 16$ u izraz za $x :$

x = \frac{100 - 4 \cdot 16}{3} = \frac{100 - 64}{3} = \frac{36}{3} = 12

Traženi brojevi su $12$ i $16 .$

x = 12, \quad y = 16

1841.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate