1833.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva (zadaci 335-347): x3+y3=2, x^3 + y^3 = 2 , xy(x+y)=2. xy(x + y) = 2 .

{x3+y3=2xy(x+y)=2\begin{cases} x^3 + y^3 = 2 \\ xy(x + y) = 2 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smene za simetrične polinome: S=x+y S = x + y i P=xy. P = xy .

{S=x+yP=xy\begin{cases} S = x + y \\ P = xy \end{cases}

Izrazimo zbir kubova x3+y3 x^3 + y^3 preko S S i P. P .

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)=S(S2−3P)=S3−3SPx^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = S(S^2 - 3P) = S^3 - 3SP

Zamenimo ove izraze u polazni sistem jednačina.

{S3−3SP=2SP=2\begin{cases} S^3 - 3SP = 2 \\ SP = 2 \end{cases}

Zamenimo vrednost SP=2 SP = 2 iz druge jednačine u prvu.

S3−3⋅2=2S^3 - 3 \cdot 2 = 2

Rešavamo dobijenu jednačinu po S. S .

S3−6=2  ⟹  S3=8  ⟹  S=2S^3 - 6 = 2 \implies S^3 = 8 \implies S = 2

Sada računamo vrednost za P P zamenom S=2 S = 2 u jednačinu SP=2. SP = 2 .

2P=2  ⟹  P=12P = 2 \implies P = 1

Vraćamo se na početne smene. Brojevi x x i y y predstavljaju rešenja kvadratne jednačine t2−St+P=0 t^2 - St + P = 0 na osnovu Vijetovih formula.

t2−2t+1=0t^2 - 2t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t. t .

(t−1)2=0  ⟹  t1=t2=1(t - 1)^2 = 0 \implies t_1 = t_2 = 1

Pošto su rešenja kvadratne jednačine jednaka, zaključujemo da je x=1 x = 1 i y=1. y = 1 . Zapisujemo konačno rešenje sistema.

(x,y)=(1,1)(x, y) = (1, 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti