1822.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva (zadaci 335-347):

{x2+x2y2+x2y4=525x+xy+xy2=35\begin{cases} x^2 + x^2y^2 + x^2y^4 = 525 \\ x + xy + xy^2 = 35 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Izvučemo zajedničke faktore u obe jednačine:

{x2(1+y2+y4)=525x(1+y+y2)=35\begin{cases} x^2(1 + y^2 + y^4) = 525 \\ x(1 + y + y^2) = 35 \end{cases}

Primetimo da se izraz 1+y2+y4 1 + y^2 + y^4 može faktorisati dopunom do potpunog kvadrata:

1+y2+y4=1+2y2+y4−y2=(1+y2)2−y21 + y^2 + y^4 = 1 + 2y^2 + y^4 - y^2 = (1 + y^2)^2 - y^2

Primenom razlike kvadrata dobijamo:

(1+y2)2−y2=(1+y2−y)(1+y2+y)=(1−y+y2)(1+y+y2)(1 + y^2)^2 - y^2 = (1 + y^2 - y)(1 + y^2 + y) = (1 - y + y^2)(1 + y + y^2)

Sada prva jednačina postaje:

x2(1−y+y2)(1+y+y2)=525x^2(1 - y + y^2)(1 + y + y^2) = 525

Kvadriramo drugu jednačinu sistema:

x2(1+y+y2)2=352=1225x^2(1 + y + y^2)^2 = 35^2 = 1225

Podelimo kvadriranu drugu jednačinu sa prvom jednačinom. Pošto je x(1+y+y2)=35, x(1 + y + y^2) = 35 , znamo da je x≠0 x \neq 0 i 1+y+y2≠0, 1 + y + y^2 \neq 0 , pa je deljenje dozvoljeno:

x2(1+y+y2)2x2(1−y+y2)(1+y+y2)=1225525\frac{x^2(1 + y + y^2)^2}{x^2(1 - y + y^2)(1 + y + y^2)} = \frac{1225}{525}

Skratimo razlomke na obe strane:

1+y+y21−y+y2=73\frac{1 + y + y^2}{1 - y + y^2} = \frac{7}{3}

Množenjem unakrsno dobijamo:

3(1+y+y2)=7(1−y+y2)3(1 + y + y^2) = 7(1 - y + y^2)

Sredimo jednačinu:

3+3y+3y2=7−7y+7y23 + 3y + 3y^2 = 7 - 7y + 7y^2

Prebacimo sve članove na desnu stranu i izjednačimo sa nulom:

4y2−10y+4=04y^2 - 10y + 4 = 0

Podelimo jednačinu sa 2:

2y2−5y+2=02y^2 - 5y + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po y: y :

y1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2=5±25−164=5±34y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za y: y :

y1=2,y2=12y_1 = 2, \quad y_2 = \frac{1}{2}

Iz druge jednačine sistema izrazimo x: x :

x=351+y+y2x = \frac{35}{1 + y + y^2}

Za y1=2 y_1 = 2 računamo x1: x_1 :

x1=351+2+22=357=5x_1 = \frac{35}{1 + 2 + 2^2} = \frac{35}{7} = 5

Za y2=12 y_2 = \frac{1}{2} računamo x2: x_2 :

x2=351+12+(12)2=351+12+14=3574=20x_2 = \frac{35}{1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{35}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{35}{\frac{7}{4}} = 20

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi (x,y): (x, y) :

(x,y)∈{(5,2),(20,12)}(x, y) \in \left\{ (5, 2), \left(20, \frac{1}{2}\right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti