1793. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prva jednačina $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ je homogena jednačina drugog stepena. Možemo je rešiti po $x$ posmatrajući $y$ kao parametar.

x_{1,2} = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2)}}{2 \cdot 1}

Sređujemo izraz pod korenom i nalazimo rešenja za $x$ u funkciji od $y .$

x_{1,2} = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}

Dobijamo dva slučaja za vezu između $x$ i $y :$

x_1 = \frac{4y}{2} = 2y \quad \text{ili} \quad x_2 = \frac{-6y}{2} = -3y

Razmatramo prvi slučaj: $x = 2y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu $x^2 - 2xy + 3y^2 = 18 .$

(2y)^2 - 2(2y)y + 3y^2 = 18

Računamo vrednost za $y$ u prvom slučaju.

4y^2 - 4y^2 + 3y^2 = 18 \implies 3y^2 = 18 \implies y^2 = 6

Nalazimo parove rešenja za prvi slučaj.

y = \pm \sqrt{6} \implies x = 2y \implies (2\sqrt{6}, \sqrt{6}), (-2\sqrt{6}, -\sqrt{6})

Razmatramo drugi slučaj: $x = -3y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu.

(-3y)^2 - 2(-3y)y + 3y^2 = 18

Računamo vrednost za $y$ u drugom slučaju.

9y^2 + 6y^2 + 3y^2 = 18 \implies 18y^2 = 18 \implies y^2 = 1

Nalazimo parove rešenja za drugi slučaj.

y = \pm 1 \implies x = -3y \implies (-3, 1), (3, -1)

Konačan skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \{(2\sqrt{6}, \sqrt{6}), (-2\sqrt{6}, -\sqrt{6}), (-3, 1), (3, -1)\}

1793.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate