1792. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Primetimo da obe jednačine sadrže član $xy .$ Izolujemo $xy$ iz obe jednačine.

\begin{cases} xy = 55 - x \\ xy = 60 - y \end{cases}

Izjednačavanjem desnih strana dobijamo vezu između $x$ i $y :$

55 - x = 60 - y \implies y - x = 5 \implies y = x + 5

Sada zamenimo $y = x + 5$ u prvu jednačinu sistema $x + xy = 55 :$

x + x(x + 5) = 55

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $x :$

x + x^2 + 5x = 55 \implies x^2 + 6x - 55 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{256}}{2}

Računamo vrednosti za $x :$

x_1 = \frac{-6 + 16}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-6 - 16}{2} = -11

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći relaciju $y = x + 5 :$

\begin{aligned} &\text{Za } x_1 = 5: y_1 = 5 + 5 = 10 \\ &\text{Za } x_2 = -11: y_2 = -11 + 5 = -6 \end{aligned}

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \{(5, 10), (-11, -6)\}

1792.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate