709.

xy+yx=376, x+y=218 \frac xy+\frac yx=\frac{37}6, \ x+y=\frac{21}8

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

xy+yx=376x+y=218\frac xy+\frac yx=\frac{37}6 \\ x+y=\frac{21}8
REŠENJE ZADATKA

Iz druge jednačine izraziti y.y.

x+y=218  ⟹  y=218−xx+y=\frac{21}8 \implies y=\frac{21}8-x

Uvrstiti yy u prvu jednačinu.

x218−x+218−xx=376\frac x{\frac{21}8-x}+\frac {\frac{21}8-x}x=\frac{37}6

Pomnožiti izraz sa 6x(218−x).6x(\frac{21}8-x).

6x2+6(218−x)2=37x(218−x)6x2+6(44164−428x+x2)=7778x−37x26x2+132332−632x+6x2=7778x−37x212x2+132332−632x=7778x−37x26x^2+6\bigg(\frac{21}8-x\bigg)^2=37x\bigg(\frac{21}8-x\bigg) \\ 6x^2+6\bigg(\frac{441} {64}-\frac{42}8x+x^2\bigg)=\frac {777}8x-37x^2 \\ 6x^2+\frac{1323} {32}-\frac {63}2x+6x^2=\frac {777}8x-37x^2\\ 12x^2+\frac{1323} {32}-\frac {63}2x=\frac {777}8x-37x^2

Pomnožiti izraz sa 32.32.

384x2+1323−1008x=3108x−1184x21568x2−4116x+1323=0384x^2+1323-1008x=3108x-1184x^2 \\ 1568x^2-4116x+1323=0

Podeliti obe strane jednačine sa 49.49.

32x2−84x+27=032x^2-84x+27=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=32,a=32, b=−84b=-84 i c=27c=27

x1,2=−84±(−84)2−4⋅32⋅272⋅32x1,2=−84±7056−345664x1,2=−84±6064x_{1,2}=\frac {-84\pm\sqrt{(-84)^2-4\cdot32\cdot27}} {2\cdot32} \\ x_{1,2}=\frac {-84\pm\sqrt{7056-3456}} {64} \\ x_{1,2}=\frac {-84\pm60} {64}

Rešenja za xx su:

x1=38∨x2=94x_1=\frac 38 \quad\lor\quad x_2=\frac94

Uvrstiti x1=38x_1=\frac38 i x2=94x_2=\frac94 u jednačinu y=218−x.y=\frac{21}8-x.

y1=218−38=94y2=218−94=38y_1=\frac{21}8-\frac38=\frac94 \\ y_2=\frac{21}8-\frac 94=\frac38

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

(38, 94) i (94, 38)\bigg(\frac38,\ \frac94\bigg) \text{ i } \bigg( \frac94,\ \frac38\bigg)