2980.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: S,a,α. S, a, \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo formulu za površinu trougla preko stranica b b i c c i ugla α \alpha između njih.

S=12bcsin⁡αS = \frac{1}{2} b c \sin \alpha

Izražavamo proizvod stranica b b i c c iz formule za površinu.

bc=2Ssin⁡αbc = \frac{2S}{\sin \alpha}

Primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu a a kako bismo povezali b b i c. c .

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Izražavamo zbir kvadrata stranica b b i c. c .

b2+c2=a2+2bccos⁡αb^2 + c^2 = a^2 + 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo izraz za bc bc u prethodnu jednačinu.

b2+c2=a2+2(2Ssin⁡α)cos⁡α=a2+4Scot⁡αb^2 + c^2 = a^2 + 2 \left( \frac{2S}{\sin \alpha} \right) \cos \alpha = a^2 + 4S \cot \alpha

Koristimo algebarske identitete za kvadrat binoma kako bismo formirali sistem jednačina po b+c b+c i b−c. b-c . Prvo računamo (b+c)2. (b+c)^2 .

(b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc

Zamenjujemo poznate izraze za b2+c2 b^2+c^2 i bc. bc .

(b+c)2=a2+4Scot⁡α+4Ssin⁡α=a2+4S(cos⁡α+1)sin⁡α(b+c)^2 = a^2 + 4S \cot \alpha + \frac{4S}{\sin \alpha} = a^2 + \frac{4S(\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha}

Primenjujemo trigonometrijski identitet polovičnog ugla: cos⁡α+1sin⁡α=cot⁡α2. \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha} = \cot \frac{\alpha}{2} .

(b+c)2=a2+4Scot⁡α2(b+c)^2 = a^2 + 4S \cot \frac{\alpha}{2}

Na sličan način računamo (b−c)2. (b-c)^2 .

(b−c)2=b2+c2−2bc(b-c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc

Zamenjujemo poznate izraze.

(b−c)2=a2+4Scot⁡α−4Ssin⁡α=a2+4S(cos⁡α−1)sin⁡α(b-c)^2 = a^2 + 4S \cot \alpha - \frac{4S}{\sin \alpha} = a^2 + \frac{4S(\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha}

Primenjujemo trigonometrijski identitet polovičnog ugla: cos⁡α−1sin⁡α=−tan⁡α2. \frac{\cos \alpha - 1}{\sin \alpha} = -\tan \frac{\alpha}{2} .

(b−c)2=a2−4Stan⁡α2(b-c)^2 = a^2 - 4S \tan \frac{\alpha}{2}

Korenovanjem dobijamo vrednost za b+c. b+c . Pošto su b b i c c dužine stranica trougla, njihov zbir mora biti pozitivan.

b+c=a2+4Scot⁡α2b+c = \sqrt{a^2 + 4S \cot \frac{\alpha}{2}}

Korenovanjem izraza za (b−c)2 (b-c)^2 dobijamo dve moguće vrednosti. Zbog simetrije stranica b b i c, c , možemo zapisati:

b−c=±a2−4Stan⁡α2b-c = \pm \sqrt{a^2 - 4S \tan \frac{\alpha}{2}}

Sabiranjem i oduzimanjem jednačina za b+c b+c i b−c b-c dobijamo dužine stranica b b i c. c .

b,c=12(a2+4Scot⁡α2±a2−4Stan⁡α2)b, c = \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 + 4S \cot \frac{\alpha}{2}} \pm \sqrt{a^2 - 4S \tan \frac{\alpha}{2}} \right)

Preostale uglove β \beta i γ \gamma računamo pomoću sinusne teoreme.

sin⁡β=bsin⁡αa,sin⁡γ=csin⁡αa\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}, \quad \sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a}

Uglovi se konačno određuju vodeći računa o tome da zbir uglova u trouglu mora biti 180∘. 180^\circ .

β=arcsin⁡(bsin⁡αa),γ=180∘−(α+β)\beta = \arcsin \left( \frac{b \sin \alpha}{a} \right), \quad \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti