2955.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

U trouglu ABC ABC je α=30∘, \alpha = 30^\circ , a=2, a = \sqrt{2} , b=2. b = 2 . Naći ostale uglove trougla.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo našli ugao β, \beta , koristićemo sinusnu teoremu koja glasi:

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

2sin⁡30∘=2sin⁡β\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin \beta}

Znamo da je sin⁡30∘=12, \sin 30^\circ = \frac{1}{2} , pa jednačina postaje:

212=2sin⁡β\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sin \beta}

Sređujemo izraz na levoj strani.

22=2sin⁡β2\sqrt{2} = \frac{2}{\sin \beta}

Izražavamo sin⁡β. \sin \beta .

sin⁡β=222=12\sin \beta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Racionališemo imenilac.

sin⁡β=12⋅22=22\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Pošto je sin⁡β=22, \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} , ugao β \beta može imati dve vrednosti u intervalu od 0∘ 0^\circ do 180∘. 180^\circ .

β1=45∘∨β2=180∘−45∘=135∘\beta_1 = 45^\circ \quad \lor \quad \beta_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ

Razmatramo prvi slučaj kada je β=45∘. \beta = 45^\circ . Zbir uglova u trouglu je 180∘, 180^\circ , pa računamo ugao γ. \gamma .

γ1=180∘−(α+β1)=180∘−(30∘+45∘)=105∘\gamma_1 = 180^\circ - (\alpha + \beta_1) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ

Razmatramo drugi slučaj kada je β=135∘. \beta = 135^\circ . Računamo odgovarajući ugao γ. \gamma .

γ2=180∘−(α+β2)=180∘−(30∘+135∘)=15∘\gamma_2 = 180^\circ - (\alpha + \beta_2) = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 15^\circ

Oba rešenja su moguća jer u oba slučaja važi pravilo da se naspram veće stranice nalazi veći ugao (b>a  ⟹  β>α b > a \implies \beta > \alpha ). Konačna rešenja su:

(β1=45∘,γ1=105∘)∨(β2=135∘,γ2=15∘)(\beta_1 = 45^\circ, \gamma_1 = 105^\circ) \quad \lor \quad (\beta_2 = 135^\circ, \gamma_2 = 15^\circ)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti