1492.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Razlika kubova dva uzastopna prirodna broja jednaka je: 547. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su ta dva uzastopna prirodna broja n n i n+1. n+1 . Prema tekstu zadatka, razlika njihovih kubova je 547.

(n+1)3−n3=547(n+1)^3 - n^3 = 547

Primenjujemo formulu za kub binoma (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 na izraz (n+1)3. (n+1)^3 .

(n3+3n2⋅1+3n⋅12+13)−n3=547(n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 547

Sređujemo jednačinu tako što potiremo n3 n^3 i −n3. -n^3 .

3n2+3n+1=5473n^2 + 3n + 1 = 547

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

3n2+3n+1−547=03n^2 + 3n + 1 - 547 = 0

Oduzimamo poznate vrednosti.

3n2+3n−546=03n^2 + 3n - 546 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo pojednostavili koeficijente.

n2+n−182=0n^2 + n - 182 = 0

Dobili smo kvadratnu jednačinu oblika an2+bn+c=0, an^2 + bn + c = 0 , gde je a=1, a=1 , b=1 b=1 i c=−182. c=-182 . Rešavamo je primenom formule za kvadratnu jednačinu.

n1,2=−b±b2−4ac2an_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata u formulu.

n1,2=−1±12−4⋅1⋅(−182)2⋅1n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu).

n1,2=−1±1+7282=−1±7292n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 728}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{729}}{2}

Pošto je 729=27, \sqrt{729} = 27 , računamo dva potencijalna rešenja.

n1,2=−1±272n_{1,2} = \frac{-1 \pm 27}{2}

Odvajamo rešenja na n1 n_1 i n2. n_2 .

n1=−1+272=13in2=−1−272=−14n_1 = \frac{-1 + 27}{2} = 13 \quad \text{i} \quad n_2 = \frac{-1 - 27}{2} = -14

S obzirom na to da se u zadatku traže prirodni brojevi (n∈N n \in \mathbb{N} ), odbacujemo negativno rešenje n2=−14. n_2 = -14 . Zadržavamo samo pozitivno rešenje.

n=13n = 13

Nalazimo drugi traženi broj tako što dodajemo 1 našem rešenju.

n+1=13+1=14n + 1 = 13 + 1 = 14

Konačan odgovor: traženi uzastopni prirodni brojevi su 13 i 14.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti