1490.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost realnog parametra p p tako da jednačine x2+(p−8)x+2(p−4)=0 x^2 + (p - 8)x + 2(p - 4) = 0 i x2+(2p−19)x+2(2p−3)=0 x^2 + (2p - 19)x + 2(2p - 3) = 0 imaju zajedničko rešenje.

Zaključak: postoje dve vrednosti parametra p p za koje jednačine imaju zajedničko rešenje.

p1=19⇒x0=−5,p2=5⇒x0=2p_1 = 19 \Rightarrow x_0 = -5, \qquad p_2 = 5 \Rightarrow x_0 = 2
REŠENJE ZADATKA

Neka je x0 x_0 zajedničko rešenje obe jednačine. Zapisujemo sistem jednačina koji to rešenje mora da zadovolji:

{x02+(p−8)x0+2(p−4)=0x02+(2p−19)x0+2(2p−3)=0\begin{cases} x_0^2 + (p - 8)x_0 + 2(p - 4) = 0 \\ x_0^2 + (2p - 19)x_0 + 2(2p - 3) = 0 \end{cases}

Oduzimamo prvu jednačinu od druge kako bismo eliminisali kvadratni član x02: x_0^2 :

[x02+(2p−19)x0+(4p−6)]−[x02+(p−8)x0+(2p−8)]=0[x_0^2 + (2p - 19)x_0 + (4p - 6)] - [x_0^2 + (p - 8)x_0 + (2p - 8)] = 0

Sređujemo izraz grupisanjem članova uz x0 x_0 i slobodnih članova:

(2p−19−p+8)x0+(4p−6−2p+8)=0(p−11)x0+2p+2=0(2p - 19 - p + 8)x_0 + (4p - 6 - 2p + 8) = 0 \\ (p - 11)x_0 + 2p + 2 = 0

Izražavamo zajedničko rešenje x0 x_0 u zavisnosti od parametra p. p . (Pretpostavljamo da je p≠11, p \neq 11 , jer u suprotnom dobijamo netačnu jednakost 24=0 24 = 0 ):

x0=−2(p+1)p−11x_0 = \frac{-2(p + 1)}{p - 11}

Zamenjujemo dobijeni izraz za x0 x_0 u prvu jednačinu x02+(p−8)x0+2(p−4)=0: x_0^2 + (p - 8)x_0 + 2(p - 4) = 0 :

(−2(p+1)p−11)2+(p−8)(−2(p+1)p−11)+2(p−4)=0\left( \frac{-2(p + 1)}{p - 11} \right)^2 + (p - 8)\left( \frac{-2(p + 1)}{p - 11} \right) + 2(p - 4) = 0

Kvadriramo prvi član i delimo celu jednačinu sa 2 kako bismo uprostili izraz:

2(p+1)2(p−11)2−(p−8)(p+1)p−11+(p−4)=0\frac{2(p + 1)^2}{(p - 11)^2} - \frac{(p - 8)(p + 1)}{p - 11} + (p - 4) = 0

Množimo jednačinu sa (p−11)2 (p - 11)^2 kako bismo eliminisali razlomke:

2(p+1)2−(p−8)(p+1)(p−11)+(p−4)(p−11)2=02(p + 1)^2 - (p - 8)(p + 1)(p - 11) + (p - 4)(p - 11)^2 = 0

Množimo zagrade u svakom sabirku:

2(p2+2p+1)−(p2−7p−8)(p−11)+(p−4)(p2−22p+121)=02(p^2 + 2p + 1) - (p^2 - 7p - 8)(p - 11) + (p - 4)(p^2 - 22p + 121) = 0

Daljim množenjem i oslobađanjem od zagrada dobijamo izraz:

2p2+4p+2−(p3−18p2+69p+88)+(p3−26p2+209p−484)=02p^2 + 4p + 2 - (p^3 - 18p^2 + 69p + 88) + (p^3 - 26p^2 + 209p - 484) = 0

Grupišemo odgovarajuće stepene parametra p. p . Članovi sa p3 p^3 se poništavaju:

−6p2+144p−570=0-6p^2 + 144p - 570 = 0

Delimo dobijenu jednačinu sa -6 kako bismo dobili svedenu kvadratnu jednačinu po p: p :

p2−24p+95=0p^2 - 24p + 95 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po p p primenom standardne formule:

p1,2=−(−24)±(−24)2−4⋅1⋅952⋅1p_{1,2} = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 95}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu) i nalazimo rešenja:

p1,2=24±576−3802=24±1962=24±142p_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 380}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{24 \pm 14}{2}

Razdvajanjem slučajeva za plus i minus dobijamo konačne vrednosti realnog parametra p: p :

p1=19,p2=5p_1 = 19, \quad p_2 = 5

Sada za svaku vrednost parametra p p nalazimo odgovarajuće zajedničko rešenje x0 x_0 koristeći formulu iz koraka 4. Za p1=19: p_1 = 19 :

x0=−2(19+1)19−11=−2⋅208=−408=−5x_0 = \frac{-2(19 + 1)}{19 - 11} = \frac{-2 \cdot 20}{8} = \frac{-40}{8} = -5

Proveravamo da li x0=−5 x_0 = -5 zaista jeste rešenje prve jednačine za p1=19: p_1 = 19 :

(−5)2+(19−8)(−5)+2(19−4)=25−55+30=0✓(-5)^2 + (19 - 8)(-5) + 2(19 - 4) = 25 - 55 + 30 = 0 \checkmark

Proveravamo da li x0=−5 x_0 = -5 jeste rešenje i druge jednačine za p1=19: p_1 = 19 :

(−5)2+(2⋅19−19)(−5)+2(2⋅19−3)=25−95+70=0✓(-5)^2 + (2 \cdot 19 - 19)(-5) + 2(2 \cdot 19 - 3) = 25 - 95 + 70 = 0 \checkmark

Za p2=5 p_2 = 5 nalazimo zajedničko rešenje x0 x_0 na isti način:

x0=−2(5+1)5−11=−2⋅6−6=−12−6=2x_0 = \frac{-2(5 + 1)}{5 - 11} = \frac{-2 \cdot 6}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2

Proveravamo da li x0=2 x_0 = 2 zaista jeste rešenje prve jednačine za p2=5: p_2 = 5 :

(2)2+(5−8)(2)+2(5−4)=4−6+2=0✓(2)^2 + (5 - 8)(2) + 2(5 - 4) = 4 - 6 + 2 = 0 \checkmark

Proveravamo da li x0=2 x_0 = 2 jeste rešenje i druge jednačine za p2=5: p_2 = 5 :

(2)2+(2⋅5−19)(2)+2(2⋅5−3)=4−18+14=0✓(2)^2 + (2 \cdot 5 - 19)(2) + 2(2 \cdot 5 - 3) = 4 - 18 + 14 = 0 \checkmark

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti