1382.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Ispitati prirodu rešenja kvadratne jednačine u zavisnosti od realnih parametara a, k, m:

5m4x2−6m2x+2=05m^4x^2 - 6m^2x + 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Da bismo ispitali prirodu rešenja, prvo određujemo koeficijente date jednačine.

a=5m4,b=−6m2,c=2a = 5m^4, \quad b = -6m^2, \quad c = 2

Da bi data jednačina bila kvadratna, njen vodeći koeficijent mora biti različit od nule.

5m4≠0  ⟹  m≠05m^4 \neq 0 \implies m \neq 0

Ako bi bilo m=0, m = 0 , zamenom u početnu jednačinu dobijamo 2=0, 2 = 0 , što je nemoguće. Dakle, za m=0 m = 0 jednačina nema rešenja.

Za m≠0 m \neq 0 računamo diskriminantu kvadratne jednačine koristeći standardnu formulu D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=(−6m2)2−4⋅(5m4)⋅2D = (-6m^2)^2 - 4 \cdot (5m^4) \cdot 2

Stepenujemo članove i pojednostavljujemo izraz za diskriminantu.

D=36m4−40m4=−4m4D = 36m^4 - 40m^4 = -4m^4

Sada analiziramo znak dobijene diskriminante. Kako je m≠0 m \neq 0 realan broj, njegov četvrti stepen je uvek strogo pozitivan (m4>0 m^4 > 0 ). Množenjem sa negativnim brojem dobijamo vrednost manju od nule.

−4m4<0  ⟹  D<0-4m^4 < 0 \implies D < 0

Na osnovu teorije, kada je diskriminanta strogo manja od nule, kvadratna jednačina nema realna rešenja, već ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja za svako realno m≠0. m \neq 0 .

x1,2∈C,x1=x2‾x_{1,2} \in \mathbb{C}, \quad x_1 = \overline{x_2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti