1381. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Prvo primećujemo da zadata jednačina ima kvadratni član samo ako je koeficijent uz $x^2$ različit od nule. Zato razdvajamo slučajeve kada je $k = 0$ i kada je $k \neq 0 .$

Za $k = 0$ jednačina više nije kvadratna, već postaje linearna:

3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}

U ovom slučaju jednačina ima tačno jedno realno rešenje.

Za $k \neq 0$ jednačina je kvadratna. Prirodu njenih rešenja određujemo na osnovu znaka diskriminante $D = b^2 - 4ac .$

a = 2k, \quad b = 3, \quad c = -1

Računamo diskriminantu za zadatu jednačinu:

D = 3^2 - 4 \cdot (2k) \cdot (-1) = 9 + 8k

Slučaj 1: Jednačina ima dva različita realna rešenja kada je diskriminanta pozitivna ( $D > 0$ ).

9 + 8k > 0 \implies 8k > -9 \implies k > -\frac{9}{8}

S obzirom na početni uslov za kvadratnu jednačinu ( $k \neq 0$ ), rešenja su realna i različita za sledeće vrednosti parametra:

k \in \left(-\frac{9}{8}, 0\right) \cup (0, +\infty)

Slučaj 2: Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje kada je diskriminanta jednaka nuli ( $D = 0$ ).

9 + 8k = 0 \implies k = -\frac{9}{8}

Slučaj 3: Jednačina ima konjugovano kompleksna rešenja kada je diskriminanta negativna ( $D < 0$ ).

9 + 8k < 0 \implies k < -\frac{9}{8}

Za intervale gde su rešenja realna i različita, možemo ispitati i njihov znak pomoću Vijetovih formula:

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2k}, \quad x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2k}

Ako je $k > 0 ,$ proizvod rešenja je negativan ( $x_1 \cdot x_2 < 0$ ), pa su rešenja suprotnog znaka.

k \in (0, +\infty) \implies \text{rešenja su suprotnog znaka}

Ako je $k \in \left(-\frac{9}{8}, 0\right) ,$ proizvod rešenja je pozitivan ( $x_1 \cdot x_2 > 0$ ). Zbir je takođe pozitivan jer delimo negativan broj sa negativnim brojem ( $x_1 + x_2 > 0$ ). Zaključujemo da su oba rešenja pozitivna.

k \in \left(-\frac{9}{8}, 0\right) \implies \text{oba rešenja su pozitivna}

164.d