1358.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Da bismo rešili jednačinu sa apsolutnim vrednostima, prvo računamo kritične tačke u kojima izrazi unutar apsolutnih vrednosti menjaju znak. Izjednačavamo svaki izraz sa nulom:

Ove tačke dele brojevnu pravu na pet intervala. Analiziraćemo jednačinu na svakom od njih:

Analiziramo prvi interval $x \in \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) .$ U ovom intervalu važi $x^2 - 1 > 0 ,$ $x < 0$ i $2x + 3 < 0 .$ Oslobađamo se apsolutnih vrednosti:

Sređujemo dobijenu jednačinu:

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

Pošto je $\sqrt{17} \approx 4.12 ,$ oba rešenja (približno 4.56 i 0.44) su pozitivna i ne pripadaju intervalu $\left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) .$ Zato u ovom intervalu nema rešenja.

Analiziramo drugi interval $x \in \left[-\frac{3}{2}, -1\right) .$ Ovde je $x^2 - 1 > 0 ,$ $x < 0$ i $2x + 3 \ge 0 :$

Sređujemo jednačinu:

Računamo diskriminantu (D) da bismo utvrdili prirodu rešenja:

Pošto je diskriminanta manja od nule ($D < 0$), jednačina ima samo kompleksna rešenja, te nema realnih rešenja u ovom intervalu.

Analiziramo treći interval $x \in [-1, 0) .$ Ovde je $x^2 - 1 \le 0 ,$ $x < 0$ i $2x + 3 > 0 :$

Sređujemo jednačinu:

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

Dobijamo $x_1 \approx 2.7$ i $x_2 \approx -3.7 .$ Nijedno od rešenja ne pripada intervalu $[-1, 0) ,$ pa ni ovde nemamo rešenja.

Analiziramo četvrti interval $x \in [0, 1) .$ Ovde je $x^2 - 1 \le 0 ,$ $x \ge 0$ i $2x + 3 > 0 :$

Sređujemo jednačinu:

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

Dobijamo rešenja $x_1 = 2$ i $x_2 = -5 .$ Nijedno ne pripada intervalu $[0, 1) ,$ pa rešenja nema.

Analiziramo peti interval $x \in [1, +\infty) .$ Ovde je $x^2 - 1 \ge 0 ,$ $x > 0$ i $2x + 3 > 0 :$

Sređujemo jednačinu:

Računamo diskriminantu (D):

Pošto je diskriminanta ponovo negativna ($D < 0$), jednačina nema realnih rešenja u ovom intervalu.

S obzirom na to da ni u jednom od pet razmatranih intervala nismo pronašli rešenje koje pripada datom intervalu, zaključujemo da polazna jednačina nema realnih rešenja.