1349. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo određujemo definisanost jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa postavljamo uslove:

x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ 2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržocem $(x - 1)(2x + 1)$ kako bismo se oslobodili razlomaka:

(2x + 1)^2 + (x - 1)^2 = 5x + 4

Kvadriramo binome na levoj strani jednačine:

(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 5x + 4

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu da dobijemo oblik $ax^2 + bx + c = 0 :$

5x^2 + 2x + 2 - 5x - 4 = 0 \\ 5x^2 - 3x - 2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine:

a = 5, \quad b = -3, \quad c = -2

Računamo diskriminantu jednačine po formuli $D = b^2 - 4ac :$

D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5}

Računamo vrednosti za $x_1$ i $x_2 :$

x_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \\ x_2 = \frac{3 - 7}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}

Proveravamo rešenja u odnosu na početne uslove. Kako je uslov bio $x \neq 1 ,$ rešenje $x_1 = 1$ se odbacuje.

x = -\frac{2}{5}

1349.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce