1327. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo moramo rastaviti kvadratni trinom $2x^2 + 7x - 4$ na činioce. Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo diskriminantu i rešenja za $2x^2 + 7x - 4 = 0 :$

D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \implies x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = -4

Na osnovu formule $a(x - x_1)(x - x_2) ,$ trinom postaje:

2x^2 + 7x - 4 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 4) = (2x - 1)(x + 4)

Sada postavljamo uslove definisanosti jednačine (imenilac ne sme biti nula):

x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 \quad \text{i} \quad 2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $(x + 4)(2x - 1) :$

(x + 4)(2x - 1) + 2x(2x - 1) + 27 = 6(x + 4)

Sređujemo izraz množenjem zagrada:

(2x^2 + 7x - 4) + (4x^2 - 2x) + 27 = 6x + 24

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih:

6x^2 - x - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu koristeći formulu:

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}

Proveravamo rešenja u odnosu na uslove definisanosti. Pošto je uslov bio $x \neq \frac{1}{2} ,$ rešenje $x_1$ se odbacuje. Jedino validno rešenje je:

x = -\frac{1}{3}

1327.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce