1326.

158.a

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

3xx−1−2xx+2=3x−6(x−1)(x+2)\frac{3x}{x - 1} - \frac{2x}{x + 2} = \frac{3x - 6}{(x - 1)(x + 2)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo definisanost jednačine. Imenilac ne sme biti nula, pa postavljamo uslove:

x−1≠0  ⟹  x≠1x+2≠0  ⟹  x≠−2x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2

Množimo celu jednačinu zajedničkim imeniocem (x−1)(x+2) (x - 1)(x + 2) kako bismo se oslobodili razlomaka.

3x(x+2)−2x(x−1)=3x−63x(x + 2) - 2x(x - 1) = 3x - 6

Sređujemo izraz množenjem zagrada i prebacivanjem svih članova na levu stranu.

3x2+6x−2x2+2x=3x−6x2+8x−3x+6=0x2+5x+6=03x^2 + 6x - 2x^2 + 2x = 3x - 6 \\ x^2 + 8x - 3x + 6 = 0 \\ x^2 + 5x + 6 = 0

Dobili smo kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 . Identifikujemo koeficijente:

a=1,b=5,c=6a = 1, \quad b = 5, \quad c = 6

Računamo diskriminantu po formuli D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=52−4⋅1⋅6=25−24=1D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

Pošto je D>0, D > 0 , jednačina ima dva različita realna rešenja. Računamo ih koristeći formulu:

x=−b±D2ax = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti u formulu:

x1=−5+12⋅1=−42=−2x2=−5−12⋅1=−62=−3x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \\ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3

Proveravamo rešenja u odnosu na početne uslove (x≠1,x≠−2). (x \neq 1, x \neq -2) . Vidimo da rešenje x1=−2 x_1 = -2 nije dozvoljeno.

x∈{−3}x \in \{-3\}