1324.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

∣x2−9∣+∣x2−4∣=5|x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=x2 t = x^2 kako bismo pojednostavili jednačinu. S obzirom na to da je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, važi uslov t≥0. t \ge 0 .

∣t−9∣+∣t−4∣=5|t - 9| + |t - 4| = 5

Analiziramo nule izraza unutar apsolutnih vrednosti, a to su t=4 t = 4 i t=9. t = 9 . One dele domen na tri intervala.

1∘t<42∘4≤t≤93∘t>91^{\circ} \quad t < 4 \\ 2^{\circ} \quad 4 \le t \le 9 \\ 3^{\circ} \quad t > 9

Razmatramo prvi slučaj: t<4. t < 4 . U ovom intervalu su oba izraza unutar apsolutnih vrednosti negativna.

−(t−9)−(t−4)=5−t+9−t+4=5−2t+13=5−2t=−8t=4-(t - 9) - (t - 4) = 5 \\ -t + 9 - t + 4 = 5 \\ -2t + 13 = 5 \\ -2t = -8 \\ t = 4

Vrednost t=4 t = 4 ne pripada intervalu t<4. t < 4 .

t=4∉(−∞,4)t = 4 \notin (-\infty, 4)

Razmatramo drugi slučaj: 4≤t≤9. 4 \le t \le 9 . Ovde je t−4≥0, t - 4 \ge 0 , a t−9≤0. t - 9 \le 0 .

−(t−9)+(t−4)=5−t+9+t−4=55=5-(t - 9) + (t - 4) = 5 \\ -t + 9 + t - 4 = 5 \\ 5 = 5

Pošto smo dobili identitet, svako t t iz ovog intervala je rešenje.

t∈[4,9]t \in [4, 9]

Razmatramo treći slučaj: t>9. t > 9 . Oba izraza su pozitivna.

(t−9)+(t−4)=52t−13=52t=18t=9(t - 9) + (t - 4) = 5 \\ 2t - 13 = 5 \\ 2t = 18 \\ t = 9

Vrednost t=9 t = 9 je već obuhvaćena prethodnim zatvorenim intervalom.

t=9∉(9,+∞)t = 9 \notin (9, +\infty)

Vraćamo smenu x2=t x^2 = t za dobijeni interval rešenja 4≤t≤9. 4 \le t \le 9 .

4≤x2≤94 \le x^2 \le 9

Prvo rešavamo nejednačinu x2≥4. x^2 \ge 4 . Korenovanjem obe strane dobijamo ∣x∣≥2, |x| \ge 2 , što znači da je x≤−2 x \le -2 ili x≥2. x \ge 2 .

x∈(−∞,−2]∪[2,+∞)x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)

Zatim rešavamo drugu nejednačinu x2≤9. x^2 \le 9 . Korenovanjem dobijamo ∣x∣≤3, |x| \le 3 , što znači da je vrednost zarobljena između -3 i 3.

x∈[−3,3]x \in [-3, 3]

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka ova dva uslova, jer oba moraju biti ispunjena istovremeno. Tražimo zajedničke elemente za (−∞,−2]∪[2,+∞) (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) i [−3,3]. [-3, 3] .

x∈[−3,−2]∪[2,3]x \in [-3, -2] \cup [2, 3]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti