Dve apsolutne vrednosti i smena t = x kvadrat

Uvodimo smenu $t = x^2$ kako bismo pojednostavili jednačinu. S obzirom na to da je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, važi uslov $t \ge 0 .$

|t - 9| + |t - 4| = 5

Analiziramo nule izraza unutar apsolutnih vrednosti, a to su $t = 4$ i $t = 9 .$ One dele domen na tri intervala.

1^{\circ} \quad t < 4 \\ 2^{\circ} \quad 4 \le t \le 9 \\ 3^{\circ} \quad t > 9

Razmatramo prvi slučaj: $t < 4 .$ U ovom intervalu su oba izraza unutar apsolutnih vrednosti negativna.

-(t - 9) - (t - 4) = 5 \\ -t + 9 - t + 4 = 5 \\ -2t + 13 = 5 \\ -2t = -8 \\ t = 4

Vrednost $t = 4$ ne pripada intervalu $t < 4 .$

t = 4 \notin (-\infty, 4)

Razmatramo drugi slučaj: $4 \le t \le 9 .$ Ovde je $t - 4 \ge 0 ,$ a $t - 9 \le 0 .$

-(t - 9) + (t - 4) = 5 \\ -t + 9 + t - 4 = 5 \\ 5 = 5

Pošto smo dobili identitet, svako $t$ iz ovog intervala je rešenje.

t \in [4, 9]

Razmatramo treći slučaj: $t > 9 .$ Oba izraza su pozitivna.

(t - 9) + (t - 4) = 5 \\ 2t - 13 = 5 \\ 2t = 18 \\ t = 9

Vrednost $t = 9$ je već obuhvaćena prethodnim zatvorenim intervalom.

t = 9 \notin (9, +\infty)

Vraćamo smenu $x^2 = t$ za dobijeni interval rešenja $4 \le t \le 9 .$

4 \le x^2 \le 9

Prvo rešavamo nejednačinu $x^2 \ge 4 .$ Korenovanjem obe strane dobijamo $|x| \ge 2 ,$ što znači da je $x \le -2$ ili $x \ge 2 .$

x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)

Zatim rešavamo drugu nejednačinu $x^2 \le 9 .$ Korenovanjem dobijamo $|x| \le 3 ,$ što znači da je vrednost zarobljena između -3 i 3.

x \in [-3, 3]

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka ova dva uslova, jer oba moraju biti ispunjena istovremeno. Tražimo zajedničke elemente za $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ i $[-3, 3] .$

x \in [-3, -2] \cup [2, 3]

Započni učenje

Privatni časovi

160.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci