1313.

156.d

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

16x2−323x+53=016x^2 - \frac{32}{3}x + \frac{5}{3} = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pomnožiti celu jednačinu sa 3 kako bismo uklonili razlomke i olakšali računanje.

3⋅(16x2−323x+53)=3⋅03 \cdot \left( 16x^2 - \frac{32}{3}x + \frac{5}{3} \right) = 3 \cdot 0

Nakon množenja, dobijamo kvadratnu jednačinu u standardnom obliku ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

48x2−32x+5=048x^2 - 32x + 5 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine:

a=48,b=−32,c=5a = 48, \quad b = -32, \quad c = 5

Računamo diskriminantu jednačine po formuli D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−32)2−4⋅48⋅5D = (-32)^2 - 4 \cdot 48 \cdot 5

Izračunavamo vrednost diskriminante:

D=1024−960=64D = 1024 - 960 = 64

Pošto je D>0, D > 0 , jednačina ima dva različita realna rešenja. Koristimo obrazac za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti u obrazac:

x1,2=−(−32)±642⋅48x_{1,2} = \frac{-(-32) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 48}

Sređujemo izraz:

x1,2=32±896x_{1,2} = \frac{32 \pm 8}{96}

Računamo prvo rešenje x1: x_1 :

x1=32+896=4096=512x_1 = \frac{32 + 8}{96} = \frac{40}{96} = \frac{5}{12}

Računamo drugo rešenje x2: x_2 :

x2=32−896=2496=14x_2 = \frac{32 - 8}{96} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}

Konačna rešenja jednačine su:

x1=512,x2=14x_1 = \frac{5}{12}, \quad x_2 = \frac{1}{4}