495. Parcijalna integracija

Odrediti integrala:

\int{\sqrt{x^2+1} \space dx}

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\sqrt{x^2+1}\quad dv=dx

Primeniti pravilo za izvod složene funkcije:

du=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}(x^2+1)\space dx\quad v=x

du=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \space dx\quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x\sqrt{x^2+1}-\int{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \space dx}

Srediti izraz:

x\sqrt{x^2+1}-\int{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \space dx}=x\sqrt{x^2+1}-\int{\frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}} \space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

x\sqrt{x^2+1}-\int{\frac{\cancel{x^2+1}}{\cancel{\sqrt{x^2+1}}} \space dx}+\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \space dx}

Srediti izraz:

x\sqrt{x^2+1}-\int{\sqrt{x^2+1} \space dx}+\ln{|x+\sqrt{x^2+1}|}

Vratiti dobijeni izraz u početni integral:

\int{\sqrt{x^2+1} \space dx}=x\sqrt{x^2+1}-\int{\sqrt{x^2+1} \space dx}+\ln{|x+\sqrt{x^2+1}|}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=x\sqrt{x^2+1}-I+\ln{|x+\sqrt{x^2+1}|}

Srediti izraz:

I=\frac{x\sqrt{x^2+1}+\ln{|x+\sqrt{x^2+1}|}}{2}+C

495.Parcijalna integracija