497. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{e^x \cdot \cos{x} \space dx}

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Kod ovog zadatka svejedno je koji će deo biti $u$ a koji $dv,$ pa se može odabrati:

u=\cos{x} \quad dv=e^x\space dx

du=-\sin{x}dx \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^x\cos{x}-\int{e^x \cdot (-\sin{x}) \space dx}=e^x\cos{x}+\int{e^x \cdot \sin{x}\space dx}

Integral $\int{e^x \space \sin{x} \space dx}$ se takođe rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\sin{x} \quad dv=e^x\space dx

du=\cos{x}dx \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\int{e^x \cdot \sin{x}\space dx}=e^x\sin{x}-\int{e^x \cdot \cos{x} \space dx}

Vratiti rezultat integrala $\int{\sin{x} \space e^x \space dx}$ u početni integral.

\int{e^x \cdot \cos{x} \space dx}=e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int{e^x \cdot \cos{x} \space dx}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-I

Srediti izraz:

I=\frac{e^x(\sin{x}+\cos{x})}{2}+C

497.Parcijalna integracija