498. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{e^x \cdot \sin{2x} \space dx}

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Kod ovog zadatka svejedno je koji će deo biti $u$ a koji $dv,$ pa se može odabrati:

u=\sin{2x} \quad dv=e^x\space dx

Primeniti pravilo za izvod složene funkcije $(\sin{2x})'=\cos{2x}\cdot (2x)'$

du=2\cos{2x}dt \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^x\sin{2x}-2\int{e^x \cdot \cos{2x} \space dx}

Integral $\int{e^x \space \cos{2x} \space dx}$ se takođe rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\cos{2x} \quad dv=e^x\space dx

Primeniti pravilo za izvod složene funkcije:

du=-2\sin{2x}dx \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\int{e^x \cdot \cos{2x} \space dx}=e^x\cos{x}+2\int{e^x \cdot \sin{2x} \space dx}

Vratiti rezultat integrala $\int{\cos{2x} \space e^x \space dx}$ u početni integral.

\int{e^x \cdot \sin{2x} \space dx}=e^x\sin{2x}-2(e^x\cos{x}+2\int{e^x \cdot \sin{2x} \space dx})

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=e^x\sin{2x}-2(e^x\cos{x}+2I)

Srediti izraz:

I=\frac{e^x(\sin{2x}-2\cos{2x})}{5}

498.Parcijalna integracija