494.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫4−x2 dx\int{\sqrt{4-x^2} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Izabrati uui dv.dv.

u=4−x2dv= dxu=\sqrt{4-x^2} \quad dv=\space dx

Primeniti pravilo za izvod složene funkcije:

du=124−x2⋅(4−x2)′dxv=xdu=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot (4-x^2)'dx \quad v=x
du=−x4−x2dxv=xdu=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

x4−x2−∫x⋅−x4−x2 dxx\sqrt{4-x^2}-\int{x\cdot\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x4−x2−∫−x2+4−44−x2 dxx\sqrt{4-x^2}-\int{\frac{-x^2+4-4}{\sqrt{4-x^2}} \space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

x4−x2−∫−41−x2 dx−∫4−x24−x2 dxx\sqrt{4-x^2}-\int{\frac{-4}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\frac{\cancel{4-x^2}}{\cancel{\sqrt{4-x^2}}} \space dx}

Izbaciti 44ispred razlomka i srediti izraz:

x4−x2+∫421−x24 dx−∫4−x2 dx=x4−x2+∫21−x24 dx−∫4−x2 dxx\sqrt{4-x^2}+\int{\frac{\cancel{4}}{\cancel{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}-\int{\sqrt{4-x^2} \space dx}=x\sqrt{4-x^2}+\int{\frac{2}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}-\int{\sqrt{4-x^2} \space dx}

Uvodi se smena x2=t\frac{x}{2}=tu integralu ∫21−x24 dx:\int{\frac{2}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}:

dx2=dt\frac{dx}{2}=dt

Vratiti dobijeni izraz u prvobitni integral:

∫4−x2 dx=x4−x2+4∫11−t2 dt−∫4−x2 dx\int{\sqrt{4-x^2}\space dx}=x\sqrt{4-x^2}+4\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \space dt}-\int{\sqrt{4-x^2}\space dx}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa I.I.

I=x4−x2+4arcsin⁡t−II=x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{t}-I

Vratiti smenu i srediti izraz:

2I=x4−x2+4arcsin⁡x2+C2I=x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{\frac{x}{2}}+C
I=x4−x2+4arcsin⁡x22+CI=\frac{x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{\frac{x}{2}}}{2}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti