492.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫1−x2 dx\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Izabrati uu i dv:dv:

u=1−x2dv= dxu=\sqrt{1-x^2} \quad dv=\space dx

Primeniti pravilo složenog izvoda:

du=121−x2⋅(1−x2)′dxv=xdu= \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'dx \quad v=x
du=−2x21−x2=−x1−x2v=xdu=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

x1−x2−∫x⋅−x1−x2 dxx\sqrt{1-x^2}-\int{x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x1−x2−∫−x21−x2 dx=x1−x2−∫−x2+1−11−x2 dxx\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

x1−x2−∫1−x21−x2 dx−∫−−11−x2 dxx\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\cancel{1-x^2}}{\cancel{\sqrt{1-x^2}}} \space dx}- \int{-\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x1−x2+∫11−x2 dx−∫1−x2 dxx\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}

Vratiti dobijeni rezultat u početni integral.

∫1−x2 dx=x1−x2+∫11−x2 dx−∫1−x2 dx\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}=x\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa I.I.

I=x1−x2+arcsin⁡x−II=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}-I

Srediti izraz:

I=x1−x2+arcsin⁡x2+CI=\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}}{2}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti