491. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{\cos{(\ln{x})} \space dx}

Primeniti smenu $t=\ln{x},$ što znači da je $x=e^t,$ a zatim uraditi prvi izvod:

dt=\frac{1}{x}dx

U integralu $\int{\cos{t}\cdot x\space dx}$ primeniti smenu za $x=e^t.$

\int{\cos{t}\cdot e^t\space dx}

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Kod ovog zadatka svejedno je koji će deo biti $u$ a koji $dv,$ pa se može odabrati:

u=\cos{t} \quad dv=e^t\space dt

du=-\sin{t}dt \quad v=e^t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^t \cdot \cos{t}-\int{e^t\cdot (-\sin{t})\space dx}=e^t \cdot \cos{t}+\int{e^t\cdot \sin{t}\space dx}

Integral $\int{e^t\cdot \sin{t}\space dx}$ se takođe rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\sin{t} \quad dv=e^t\space dt

du=\cos{t}dt \quad v=e^t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju:

\int{e^t\cdot \sin{t}\space dx}= e^t\sin{t}-\int{e^t\cdot \cos{t}\space dt}

Vratiti rezultat integrala $\int{e^t\cdot \sin{t}\space dx}$ u početni integral.

e^t \cdot \cos{t}+e^t\sin{t}-\int{e^t\cdot \cos{t}\space dt}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=\int{e^t\cdot \cos{t}\space dt}

Zamenom oznake $I$ u prethodni rezultat, dobija se:

I=e^t \cdot \cos{t}+e^t\sin{t}-I

Srediti izraz:

I=\frac{e^t}{2}(\cos{t}+\sin{t})+C

Vratiti smenu:

I=\frac{x}{2}(\cos{\ln{x}}+\sin{\ln{x}})+C

491.Parcijalna integracija