2098.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: sin⁡x1+ctgx+cos⁡x1+tgx \frac{\sin x}{1 + \text{ctg} x} + \frac{\cos x}{1 + \text{tg} x}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraziti tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa. Koristimo poznate identitete: tgx=sin⁡xcos⁡x \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} i ctgx=cos⁡xsin⁡x. \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} . Zamenjujemo ih u početni izraz.

sin⁡x1+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x1+sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}

Svodimo izraze u imeniocima na zajednički imenilac.

sin⁡xsin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}} + \frac{\cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}}

Rešavamo dvojne razlomke tako što množimo spoljašnje sa spoljašnjim, a unutrašnje sa unutrašnjim članovima (deljenje razlomkom je množenje njegovom recipročnom vrednošću).

sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x+cos⁡2xcos⁡x+sin⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x}

Sada oba razlomka imaju isti imenilac sin⁡x+cos⁡x, \sin x + \cos x , pa ih možemo sabrati u jedan razlomak.

sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 u brojiocu kako bismo dobili konačan rezultat.

1sin⁡x+cos⁡x\frac{1}{\sin x + \cos x}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti