2060. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Da bismo uprostili izraz, podsetimo se formula za zbir i razliku kubova, kao i za razliku kvadrata:

\begin{aligned} a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2) \\ a^4 - b^4 &= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \end{aligned}

Primenimo formulu za zbir kubova na prvi razlomak:

\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}

Skratimo razlomak sa $\sin x + \cos x$ i iskoristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 :$

\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin x \cos x

Sada primenimo formulu za razliku kubova na drugi razlomak:

\frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x - \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x - \cos x}

Skratimo razlomak sa $\sin x - \cos x$ i ponovo iskoristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin x \cos x

Za treći razlomak primenimo formulu za razliku kvadrata, posmatrajući $\sin^4 x$ kao $(\sin^2 x)^2 :$

\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^2 x - \cos^2 x} = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}

Skratimo razlomak sa $\sin^2 x - \cos^2 x$ i primenimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Zamenimo sve uprošćene delove nazad u početni izraz:

(1 - \sin x \cos x) + (1 + \sin x \cos x) + 1

Saberemo vrednosti i dobijamo konačan rezultat:

1 - \sin x \cos x + 1 + \sin x \cos x + 1 = 3

2060.Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija