2014.

594.a

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je: sin⁡α=−13 \sin \alpha = -\frac{1}{3} i π<α<3π2 \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ;

REŠENJE ZADATKA

Ugao α \alpha se nalazi u trećem kvadrantu (π<α<3π2 \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ), pa važi da je kosinus negativan, dok su tangens i kotangens pozitivni.

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet kako bismo odredili kosinus:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Izražavamo kosinus na kvadrat:

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo poznatu vrednost za sinus:

cos⁡2α=1−(−13)2\cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2

Računamo vrednost izraza:

cos⁡2α=1−19=89\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

Pošto je kosinus u trećem kvadrantu negativan, uzimamo negativan koren:

cos⁡α=−89\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}}

Pojednostavljujemo dobijeni izraz:

cos⁡α=−223\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}

Sada računamo tangens ugla koristeći formulu:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Zamenjujemo dobijene vrednosti:

tan⁡α=−13−223\tan \alpha = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}

Sređujemo dvojni razlomak:

tan⁡α=122\tan \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}}

Racionališemo imenilac množenjem sa 22: \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} :

tan⁡α=24\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}

Na kraju, računamo kotangens kao recipročnu vrednost tangensa:

cot⁡α=1tan⁡α\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}

Zamenjujemo vrednost tangensa (koristimo vrednost pre racionalizacije radi lakšeg računa):

cot⁡α=22\cot \alpha = 2\sqrt{2}