2772. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prvo, definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Funkcija $f(x)$ je periodična sa osnovnim periodom $T > 0$ ako za svako $x$ iz domena važi:

f(x+T) = f(x)

Zamenjujemo našu funkciju u definiciju periodičnosti:

|\cos(x+T)| = |\cos x|

Znamo da je osnovni period funkcije $\cos x$ jednak $2\pi ,$ ali zbog apsolutne vrednosti proveravamo da li postoji manji period. Proveravamo $T = \pi ,$ koristeći trigonometrijski identitet $\cos(x+\pi) = -\cos x :$

f(x+\pi) = |\cos(x+\pi)| = |-\cos x|

Kako je apsolutna vrednost negativnog izraza jednaka apsolutnoj vrednosti pozitivnog izraza ( $|-a| = |a|$ ), dobijamo:

|-\cos x| = |\cos x| = f(x)

Pošto je uslov $f(x+\pi) = f(x)$ ispunjen, a ne postoji manji pozitivan broj za koji ovo važi (na primer, za $T = \frac{\pi}{2}$ jednakost ne važi za svako $x$ ), zaključujemo da je osnovni period funkcije:

T = \pi

858.ž