2764.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): y=sin⁡2x. y = \sin 2x .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=Rilix∈(−∞,+∞)D_f = \mathbb{R} \quad \text{ili} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Ispitujemo parnost funkcije. Funkcija je neparna jer važi f(−x)=−f(x). f(-x) = -f(x) .

f(−x)=sin⁡(2(−x))=sin⁡(−2x)=−sin⁡(2x)=−f(x)f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)

Određujemo osnovni period funkcije. Znamo da je osnovni period funkcije sin⁡x \sin x jednak 2π. 2\pi . Dovoljno je ispitati funkciju na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

T=2π2=πT = \frac{2\pi}{2} = \pi

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine y=0. y = 0 .

sin⁡2x=0  ⟹  2x=kπ  ⟹  x=kπ2,k∈Z\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovnom periodu [0,π], [0, \pi] , nule funkcije su:

x1=0,x2=π2,x3=πx_1 = 0, \quad x_2 = \frac{\pi}{2}, \quad x_3 = \pi

Određujemo znak funkcije na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

y>0  ⟹  sin⁡2x>0  ⟹  2x∈(0,π)  ⟹  x∈(0,π2)y<0  ⟹  sin⁡2x<0  ⟹  2x∈(π,2π)  ⟹  x∈(π2,π)\begin{aligned} y > 0 &\implies \sin 2x > 0 \implies 2x \in (0, \pi) \implies x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\ y < 0 &\implies \sin 2x < 0 \implies 2x \in (\pi, 2\pi) \implies x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \end{aligned}

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

y′=(sin⁡2x)′=2cos⁡2xy' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

y′=0  ⟹  2cos⁡2x=0  ⟹  2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2y' = 0 \implies 2\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}

Za k=0 k=0 i k=1 k=1 dobijamo stacionarne tačke na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

x1=π4,x2=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

y′>0  ⟹  cos⁡2x>0  ⟹  x∈[0,π4)∪(3π4,π](funkcija raste)y′<0  ⟹  cos⁡2x<0  ⟹  x∈(π4,3π4)(funkcija opada)\begin{aligned} y' > 0 &\implies \cos 2x > 0 \implies x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ y' < 0 &\implies \cos 2x < 0 \implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, određujemo maksimum i minimum.

Mmax⁡=(π4,sin⁡(2⋅π4))=(π4,1)Mmin⁡=(3π4,sin⁡(2⋅3π4))=(3π4,−1)\begin{aligned} M_{\max} &= \left(\frac{\pi}{4}, \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) \\ M_{\min} &= \left(\frac{3\pi}{4}, \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{3\pi}{4}, -1\right) \end{aligned}

Računamo drugi izvod funkcije za ispitivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

y′′=(2cos⁡2x)′=−4sin⁡2xy'' = (2\cos 2x)' = -4\sin 2x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom. Primećujemo da je y′′=−4y, y'' = -4y , pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije.

y′′=0  ⟹  −4sin⁡2x=0  ⟹  x=kπ2y'' = 0 \implies -4\sin 2x = 0 \implies x = \frac{k\pi}{2}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

y′′>0  ⟹  sin⁡2x<0  ⟹  x∈(π2,π)(funkcija je konveksna ∪)y′′<0  ⟹  sin⁡2x>0  ⟹  x∈(0,π2)(funkcija je konkavna ∩)\begin{aligned} y'' > 0 &\implies \sin 2x < 0 \implies x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \quad (\text{funkcija je konveksna } \cup) \\ y'' < 0 &\implies \sin 2x > 0 \implies x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \quad (\text{funkcija je konkavna } \cap) \end{aligned}

Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

Na osnovu svih dobijenih podataka, crtamo grafik funkcije koji predstavlja sinusoidu sa amplitudom 1 i periodom π. \pi .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti