2730.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Date su funkcije: f(x)=3ctgx. f(x) = 3 \text{ctg} x . Ispitati da li postoje i u slučaju potvrdnog odgovora odrediti f(0), f(0) , f(π2) f\left(\frac{\pi}{2}\right) i f(π). f(\pi) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije f(x)=3ctgx. f(x) = 3 \text{ctg} x . Funkcija kotangens je definisana kao količnik kosinusa i sinusa, pa mora važiti da je imenilac različit od nule.

ctgx=cos⁡xsin⁡x  ⟹  sin⁡x≠0\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \implies \sin x \neq 0

Rešavamo jednačinu sin⁡x=0 \sin x = 0 kako bismo pronašli tačke u kojima funkcija nije definisana.

sin⁡x=0  ⟺  x=kπ,k∈Z\sin x = 0 \iff x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo postojanje vrednosti f(0). f(0) . Kako je x=0 x = 0 nula funkcije sinus (sin⁡0=0 \sin 0 = 0 ), funkcija kotangens u toj tački nije definisana.

f(0)=3ctg0=3⋅cos⁡0sin⁡0=3⋅10  ⟹  nije definisanof(0) = 3 \text{ctg} 0 = 3 \cdot \frac{\cos 0}{\sin 0} = 3 \cdot \frac{1}{0} \implies \text{nije definisano}

Računamo vrednost f(π2). f\left(\frac{\pi}{2}\right) . Proveravamo da li je π2 \frac{\pi}{2} u domenu. Pošto je sin⁡(π2)=1≠0, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \neq 0 , vrednost postoji.

f(π2)=3ctg(π2)=3⋅0=0f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot 0 = 0

Ispitujemo postojanje vrednosti f(π). f(\pi) . Kako je x=π x = \pi nula funkcije sinus (sin⁡π=0 \sin \pi = 0 ), funkcija kotangens u toj tački nije definisana.

f(π)=3ctgπ=3⋅cos⁡πsin⁡π=3⋅−10  ⟹  nije definisanof(\pi) = 3 \text{ctg} \pi = 3 \cdot \frac{\cos \pi}{\sin \pi} = 3 \cdot \frac{-1}{0} \implies \text{nije definisano}

Zaključujemo da vrednosti f(0) f(0) i f(π) f(\pi) ne postoje, dok je vrednost f(π2) f\left(\frac{\pi}{2}\right) jednaka 0.

f(0)∉R,f(π2)=0,f(π)∉Rf(0) \notin \mathbb{R}, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad f(\pi) \notin \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti