2722. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Osnovni period funkcije $\sin(x)$ je $2\pi .$ To znači da za svako $x$ važi $\sin(x + 2\pi) = \sin(x) .$ Tražimo najmanji pozitivan broj $T$ takav da za funkciju $f(x)$ važi $f(x + T) = f(x) .$

f(x + T) = a \sin(b(x + T) + \varphi)

Sredimo izraz unutar sinusa kako bismo ga uporedili sa osnovnim oblikom funkcije.

f(x + T) = a \sin(bx + bT + \varphi) = a \sin((bx + \varphi) + bT)

Da bi važilo $f(x + T) = f(x) ,$ argument sinusa se mora promeniti za celobrojni umnožak osnovnog perioda $2\pi .$ Najmanji pozitivan period dobijamo kada je ta promena jednaka $2\pi .$

|b|T = 2\pi

Primenjujemo definiciju apsolutne vrednosti za konstantu $b ,$ jer period $T$ mora biti pozitivan broj bez obzira na znak koeficijenta $b .$

|b| = \begin{cases} b, & \text{za } b > 0 \\ -b, & \text{za } b < 0 \end{cases}

Iz prethodne jednačine računamo osnovni period $T$ deljenjem sa $|b| .$

T = \frac{2\pi}{|b|}

Zaključujemo da period funkcije zavisi isključivo od koeficijenta uz nezavisnu promenljivu $x ,$ dok amplitude $a$ i početna faza $\varphi$ ne utiču na period.

T = \frac{2\pi}{|b|}

828