2720.

829.a

TEKST ZADATKA

Odrediti osnovni period funkcije f(x)=sin⁡2x−cos⁡5x. f(x) = \sin 2x - \cos 5x .

REŠENJE ZADATKA

Funkcija f(x) f(x) je zbir dve periodične funkcije. Osnovni period funkcije koja je zbir ili razlika dve funkcije dobija se kao najmanji zajednički sadržalac (NZS) perioda pojedinačnih funkcija. Prvo računamo period funkcije f1(x)=sin⁡2x. f_1(x) = \sin 2x .

T1=2π∣a∣=2π2=πT_1 = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{2} = \pi

Zatim računamo period funkcije f2(x)=cos⁡5x. f_2(x) = \cos 5x .

T2=2π∣a∣=2π5T_2 = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{5}

Osnovni period funkcije f(x) f(x) je najmanji zajednički sadržalac za T1 T_1 i T2. T_2 . Da bismo lakše odredili NZS, zapisaćemo oba perioda u obliku razlomka sa istim imeniocem.

T1=π=5π5,T2=2π5T_1 = \pi = \frac{5\pi}{5}, \quad T_2 = \frac{2\pi}{5}

Najmanji zajednički sadržalac za dva razlomka ab \frac{a}{b} i cd \frac{c}{d} računa se kao količnik NZS brojilaca i najvećeg zajedničkog delioca (NZD) imenilaca.

T=NZS(5π5,2π5)=NZS(5π,2π)NZD(5,5)T = \text{NZS}\left(\frac{5\pi}{5}, \frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\text{NZS}(5\pi, 2\pi)}{\text{NZD}(5, 5)}

Računamo NZS za brojioc i NZD za imenioc.

NZS(5π,2π)=10π,NZD(5,5)=5\text{NZS}(5\pi, 2\pi) = 10\pi, \quad \text{NZD}(5, 5) = 5

Konačno, deljenjem dobijenih vrednosti dobijamo osnovni period funkcije.

T=10π5=2πT = \frac{10\pi}{5} = 2\pi