4287.

650.v

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

11−x+11+x11−x−11+x\frac{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci manjih razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

1−x≠0  ⟹  x≠1i1+x≠0  ⟹  x≠−11-x \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{i} \quad 1+x \neq 0 \implies x \neq -1

Glavni imenilac celog izraza takođe ne sme biti jednak nuli.

11−x−11+x≠0\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x} \neq 0

Sređujemo izraz u glavnom imeniocu kako bismo našli preostali uslov.

1+x−(1−x)(1−x)(1+x)≠0  ⟹  2x1−x2≠0  ⟹  2x≠0  ⟹  x≠0\frac{1+x-(1-x)}{(1-x)(1+x)} \neq 0 \implies \frac{2x}{1-x^2} \neq 0 \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0

Dakle, uslovi definisanosti su da x x ne sme biti 0, 0 , 1, 1 , niti −1. -1 .

x∈R∖{−1,0,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Prvo svodimo brojilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

11−x+11+x=1+x+1−x(1−x)(1+x)=2(1−x)(1+x)\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x} = \frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{(1-x)(1+x)}

Zatim svodimo imenilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

11−x−11+x=1+x−(1−x)(1−x)(1+x)=2x(1−x)(1+x)\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x} = \frac{1+x-(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2x}{(1-x)(1+x)}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni dvojni razlomak.

2(1−x)(1+x)2x(1−x)(1+x)\frac{\frac{2}{(1-x)(1+x)}}{\frac{2x}{(1-x)(1+x)}}

Množimo spoljašnje i unutrašnje članove dvojnog razlomka (ili jednostavno skraćujemo zajednički imenilac (1−x)(1+x) (1-x)(1+x) ).

2⋅(1−x)(1+x)2x⋅(1−x)(1+x)=22x\frac{2 \cdot (1-x)(1+x)}{2x \cdot (1-x)(1+x)} = \frac{2}{2x}

Na kraju, skraćujemo razlomak sa 2 2 i dobijamo konačno rešenje.

1x\frac{1}{x}