561. Logaritamska jednačina

Rešiti jednačinu:

x^{2\lg x}=10x^2

Postaviti uslove jednačine:

x\gt0

Logaritmovati obe strane jednačine:

\lg x^{2\lg x}=\lg(10x^2)

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_axy=\log_ax+\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1$

\lg x^{2\lg x}=\lg10+\lg x^2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

2\lg x \cdot\lg x=\lg10+2\lg x

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\lg10=1$

2\lg^2 x =1+2\lg x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

2\lg^2 x -2\lg x-1=0

Uvesti smenu:

\lg x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2-2t-1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-2$ i $c=-1$

t_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot2\cdot(-1)}} {2\cdot2} \implies t_1=\frac{1+\sqrt{3}}2, \quad t_2=\frac{1-\sqrt{3}}2

Vratiti smenu i uvrstiti dobijene vrednosti:

\lg x=\frac{1+\sqrt{3}}2 \quad\lor\quad \lg x=\frac{1-\sqrt{3}}2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\lg10=1,$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\lg x=\frac{1+\sqrt{3}}2\cdot \lg10 \quad\lor\quad \lg x=\frac{1-\sqrt{3}}2\cdot\lg10

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\lg x=\lg10^{\frac{1+\sqrt{3}}2} \quad\lor\quad \lg x=\lg10^{\frac{1-\sqrt{3}}2}

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x=10^{\frac{1+\sqrt{3}}2} \quad\lor\quad x=10^{\frac{1-\sqrt{3}}2}

561.Logaritamska jednačina