611. Logaritamska jednačina

Rešiti jednačinu:

\log_2x+2\log_x2=3

Postaviti uslove jednačine:

x>0 \quad\land\quad x\not=1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ba=\frac 1 {\log_ab}, \ a\gt0,\ b\gt0, \ a\not=1, \ b\not=1$

\log_2x+\frac2{\log_2x}=3

Pomnožiti izraz sa $\log_2x:$

\log^2_2x+2=3\log_2x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

\log^2_2x-3\log_2x+2=0

Uvesti smenu $\log_2x=t.$

t^2-3t+2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}} {2\cdot1} \implies t_1=2, \quad t_2=1

Vratiti smenu i uvrstiti dobijene vrednosti:

\log_2x=2 \quad\lor\quad \log_2x=1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1,$ gde je $a=2$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\log_2x=2\log_22 \quad\lor\quad \log_2x=\log_22

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_2x=\log_22^2 \quad\lor\quad \log_2x=\log_22

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x=4 \quad\lor\quad x=2

611.Logaritamska jednačina