4398.

691.v

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x: x :

1x−a+1x+a=bx2−a2\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{b}{x^2-a^2}
REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačina bila definisana, imenioci ne smeju biti jednaki nuli. Postavljamo uslove definisanosti:

x−a≠0ix+a≠0  ⟹  x≠aix≠−ax - a \neq 0 \quad \text{i} \quad x + a \neq 0 \implies x \neq a \quad \text{i} \quad x \neq -a

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac sa desne strane jednačine:

x2−a2=(x−a)(x+a)x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, odnosno izrazom (x−a)(x+a): (x-a)(x+a) :

1x−a⋅(x−a)(x+a)+1x+a⋅(x−a)(x+a)=b(x−a)(x+a)⋅(x−a)(x+a)\frac{1}{x-a} \cdot (x-a)(x+a) + \frac{1}{x+a} \cdot (x-a)(x+a) = \frac{b}{(x-a)(x+a)} \cdot (x-a)(x+a)

Skraćujemo razlomke i dobijamo linearnu jednačinu:

(x+a)+(x−a)=b(x + a) + (x - a) = b

Sređujemo levu stranu jednačine sabiranjem sličnih monoma:

2x=b2x = b

Delimo jednačinu sa 2 2 kako bismo izrazili x: x :

x=b2x = \frac{b}{2}

Proveravamo uslove definisanosti. Rešenje je validno samo ako je x≠a x \neq a i x≠−a. x \neq -a . Zamenjujemo dobijeno rešenje u ove uslove:

b2≠a  ⟹  b≠2aib2≠−a  ⟹  b≠−2a\frac{b}{2} \neq a \implies b \neq 2a \quad \text{i} \quad \frac{b}{2} \neq -a \implies b \neq -2a

Konačno rešenje jednačine, uz uslov da je b≠2a b \neq 2a i b≠−2a, b \neq -2a , glasi:

x=b2x = \frac{b}{2}