4396.

690.v

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x: x :

a(x−a)b+b(x−b)a=x\frac{a(x - a)}{b} + \frac{b(x - b)}{a} = x
REŠENJE ZADATKA

Prvo, primećujemo da imenioci ne smeju biti jednaki nuli, pa moraju važiti sledeći uslovi za parametre:

a≠0ib≠0a \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, odnosno sa ab, ab , kako bismo se oslobodili razlomaka:

a2(x−a)+b2(x−b)=abxa^2(x - a) + b^2(x - b) = abx

Oslobađamo se zagrada množenjem:

a2x−a3+b2x−b3=abxa^2x - a^3 + b^2x - b^3 = abx

Grupišemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a preostale članove prebacujemo na desnu stranu:

a2x−abx+b2x=a3+b3a^2x - abx + b^2x = a^3 + b^3

Izvlačimo zajednički činilac x x na levoj strani:

x(a2−ab+b2)=a3+b3x(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3

Primenjujemo formulu za zbir kubova na desnoj strani jednačine:

x(a2−ab+b2)=(a+b)(a2−ab+b2)x(a^2 - ab + b^2) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Analiziramo izraz a2−ab+b2. a^2 - ab + b^2 . Možemo ga zapisati pomoću dopune do potpunog kvadrata, što pokazuje da je uvek strogo veći od nule za a,b≠0: a, b \neq 0 :

a2−ab+b2=(a−b2)2+3b24>0a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} > 0

Pošto izraz a2−ab+b2 a^2 - ab + b^2 nije jednak nuli, možemo bezbedno podeliti obe strane jednačine tim izrazom i dobiti konačno rešenje:

x=a+bx = a + b