4392.

689.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po nepoznatoj x x u zavisnosti od realnog parametra a. a .

ax−3a−2+ax+3a+2=2axa+2\frac{ax - 3}{a - 2} + \frac{ax + 3}{a + 2} = \frac{2ax}{a + 2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

a−2≠0ia+2≠0  ⟹  a≠2ia≠−2a - 2 \neq 0 \quad \text{i} \quad a + 2 \neq 0 \implies a \neq 2 \quad \text{i} \quad a \neq -2

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce, odnosno sa izrazom (a−2)(a+2). (a-2)(a+2) .

(ax−3)(a+2)+(ax+3)(a−2)=2ax(a−2)(ax - 3)(a + 2) + (ax + 3)(a - 2) = 2ax(a - 2)

Oslobađamo se zagrada množenjem svakog člana sa svakim.

(a2x+2ax−3a−6)+(a2x−2ax+3a−6)=2a2x−4ax(a^2x + 2ax - 3a - 6) + (a^2x - 2ax + 3a - 6) = 2a^2x - 4ax

Grupišemo slične članove na levoj strani jednačine. Članovi 2ax 2ax i −2ax -2ax se potiru, kao i −3a -3a i 3a. 3a .

2a2x−12=2a2x−4ax2a^2x - 12 = 2a^2x - 4ax

Prebacujemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu.

2a2x−2a2x+4ax=122a^2x - 2a^2x + 4ax = 12

Sređujemo dobijeni izraz.

4ax=124ax = 12

Delimo celu jednačinu sa 4 kako bismo uprostili izraz.

ax=3ax = 3

Sada analiziramo dobijenu linearnu jednačinu u zavisnosti od parametra a. a . Ako je a=0, a = 0 , dobijamo nemoguću jednakost, pa jednačina nema rešenja.

0⋅x=3  ⟹  x∈∅0 \cdot x = 3 \implies x \in \emptyset

Ako je a≠0 a \neq 0 (uz početne uslove a≠2 a \neq 2 i a≠−2 a \neq -2 ), jednačina ima jedinstveno rešenje.

x=3ax = \frac{3}{a}

Zapisujemo konačan zaključak za sva moguća rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra a. a .

x={∅,a∈{−2,0,2}3a,a∈R∖{−2,0,2}x = \begin{cases} \emptyset, & a \in \{-2, 0, 2\} \\ \frac{3}{a}, & a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\} \end{cases}