3091.

29.v

TEKST ZADATKA

Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva: (∃x)(∃y)(∀z)(xz+y=0) (\exists x)(\exists y)(\forall z)(xz + y = 0)

REŠENJE ZADATKA

Analiziramo značenje date formule. Ona tvrdi da postoje realni brojevi x x i y y takvi da za svaki realan broj z z važi jednakost:

xz+y=0xz + y = 0

Jednakost xz+y=0 xz + y = 0 možemo posmatrati kao polinom prvog stepena (ili nultog) po promenljivoj z. z . Da bi ovaj izraz bio jednak nuli za svako z∈R, z \in \mathbb{R} , svi njegovi koeficijenti moraju biti jednaki nuli.

Izjednačavamo koeficijent uz z z i slobodan član sa nulom:

x=0iy=0x = 0 \quad \text{i} \quad y = 0

Proveravamo da li za ove vrednosti jednakost zaista važi za svako z. z . Zamenjujemo x=0 x = 0 i y=0 y = 0 u polazni izraz:

0⋅z+0=00 \cdot z + 0 = 0

Dobijamo identitet koji je očigledno tačan za svaki realan broj z. z .

0=00 = 0

Pošto smo pokazali da postoje takvi brojevi (konkretno x=0 x = 0 i y=0 y = 0 ) za koje je uslov ispunjen za svako z, z , zaključujemo da je data formula tačna.