1730.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti realnog parametra m m tako da je kvadratna nejednakost tačna za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

(m−1)x2−2(m+1)x+m−3<0(m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 3 < 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c bila negativna za svako x, x , moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz kvadratni član mora biti negativan, a diskriminanta mora biti manja od nule.

a<0iD<0a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Prvo razmatramo slučaj kada izraz nije kvadratna funkcija, odnosno kada je m−1=0. m - 1 = 0 . Ako je m=1, m = 1 , nejednakost postaje:

(1−1)x2−2(1+1)x+1−3<0  ⟹  −4x−2<0(1 - 1)x^2 - 2(1 + 1)x + 1 - 3 < 0 \implies -4x - 2 < 0

Linearna nejednakost −4x−2<0 -4x - 2 < 0 nije tačna za sve x∈R, x \in \mathbb{R} , pa m=1 m = 1 nije rešenje. Sada postavljamo uslove za kvadratnu funkciju:

{m−1<0D<0\begin{cases} m - 1 < 0 \\ D < 0 \end{cases}

Iz prvog uslova dobijamo:

m<1m < 1

Računamo diskriminantu D D za kvadratni trinom (m−1)x2−2(m+1)x+m−3: (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 3 :

D=[−2(m+1)]2−4(m−1)(m−3)D = [-2(m + 1)]^2 - 4(m - 1)(m - 3)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=4(m2+2m+1)−4(m2−4m+3)=4(m2+2m+1−m2+4m−3)=4(6m−2)D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 4m + 3) = 4(m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4m - 3) = 4(6m - 2)

Postavljamo uslov D<0: D < 0 :

4(6m−2)<0  ⟹  6m−2<0  ⟹  6m<2  ⟹  m<134(6m - 2) < 0 \implies 6m - 2 < 0 \implies 6m < 2 \implies m < \frac{1}{3}

Tražimo presek uslova m<1 m < 1 i m<13: m < \frac{1}{3} :

m∈(−∞,1)∩(−∞,13)m \in (-\infty, 1) \cap (-\infty, \frac{1}{3})

Konačno rešenje za parametar m m je:

m<13m < \frac{1}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti