1712.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina: 0⩽x2+xx2−6x+9⩽12. 0 \leqslant \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \leqslant \frac{1}{2} .

0⩽x2+xx2−6x+9⩽120 \leqslant \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \leqslant \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Dati sistem nejednačina možemo razbiti na dve odvojene nejednačine koje moraju biti istovremeno zadovoljene:

{x2+xx2−6x+9⩾0x2+xx2−6x+9⩽12\begin{cases} \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \geqslant 0 \\ \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \leqslant \frac{1}{2} \end{cases}

Primetimo da je imenilac kvadrat binoma (x−3)2. (x-3)^2 . On je uvek pozitivan za x≠3. x \neq 3 . Rešavamo prvu nejednačinu:

x(x+1)(x−3)2⩾0\frac{x(x + 1)}{(x - 3)^2} \geqslant 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,0)x \in (-1, 0)
x∈(0,3)x \in (0, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x+1x + 1
−-
++
++
++
xx
−-
−-
++
++
(x−3)2(x-3)^2
++
++
++
++
P(x)P(x)
++
−-
++
++

Rešenje prve nejednačine je x∈(−∞,−1]∪[0,3)∪(3,+∞). x \in (-\infty, -1] \cup [0, 3) \cup (3, +\infty) . Sada rešavamo drugu nejednačinu tako što sve prebacimo na levu stranu:

x2+x(x−3)2−12⩽0\frac{x^2 + x}{(x - 3)^2} - \frac{1}{2} \leqslant 0

Svodimo na zajednički imenilac:

2(x2+x)−(x2−6x+9)2(x−3)2⩽0  ⟹  x2+8x−92(x−3)2⩽0\frac{2(x^2 + x) - (x^2 - 6x + 9)}{2(x - 3)^2} \leqslant 0 \implies \frac{x^2 + 8x - 9}{2(x - 3)^2} \leqslant 0

Faktorišemo brojilac x2+8x−9=(x+9)(x−1). x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1) . Nejednačina postaje:

(x+9)(x−1)2(x−3)2⩽0\frac{(x + 9)(x - 1)}{2(x - 3)^2} \leqslant 0
x∈(−∞,−9)x \in (-\infty, -9)
x∈(−9,1)x \in (-9, 1)
x∈(1,3)x \in (1, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x+9x + 9
−-
++
++
++
x−1x - 1
−-
−-
++
++
(x−3)2(x-3)^2
++
++
++
++
Q(x)Q(x)
++
−-
++
++

Rešenje druge nejednačine je x∈[−9,1]. x \in [-9, 1] . Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x∈((−∞,−1]∪[0,3)∪(3,+∞))∩[−9,1]x \in ( (-\infty, -1] \cup [0, 3) \cup (3, +\infty) ) \cap [-9, 1]

Konačno rešenje sistema je:

x∈[−9,−1]∪[0,1]x \in [-9, -1] \cup [0, 1]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti