1710.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti realnog parametra m m tako da je kvadratna nejednakost tačna za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

(2m2+m−6)x2−2m2x+1>0(2m^2 + m - 6)x^2 - 2m\sqrt{2}x + 1 > 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni trinom ax2+bx+c ax^2 + bx + c bio strogo pozitivan za svako x∈R, x \in \mathbb{R} , moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz kvadratni član mora biti pozitivan, a diskriminanta mora biti negativna.

a>0iD<0a > 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Prvo postavljamo uslov za koeficijent uz x2: x^2 :

2m2+m−6>02m^2 + m - 6 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu 2m2+m−6=0 2m^2 + m - 6 = 0 da bismo odredili nule polinoma:

m1,2=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2=−1±494=−1±74m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}

Dobijamo nule m1=−2 m_1 = -2 i m2=32. m_2 = \frac{3}{2} . Kako je parabola okrenuta nagore, rešenje nejednačine je:

m∈(−∞,−2)∪(32,+∞)m \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)

Sada postavljamo uslov da je diskriminanta D<0: D < 0 :

D=(−2m2)2−4(2m2+m−6)⋅1<0D = (-2m\sqrt{2})^2 - 4(2m^2 + m - 6) \cdot 1 < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu:

8m2−8m2−4m+24<0  ⟹  −4m+24<08m^2 - 8m^2 - 4m + 24 < 0 \implies -4m + 24 < 0

Rešavamo linearnu nejednačinu po m: m :

−4m<−24  ⟹  m>6-4m < -24 \implies m > 6

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka uslova za koeficijent a a i uslova za diskriminantu D: D :

m∈((−∞,−2)∪(32,+∞))∩(6,+∞)m \in \left( (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \right) \cap (6, +\infty)

Presek ova dva skupa je:

m∈(6,+∞)m \in (6, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti