1704.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina: 12<x2−4x+4x2+1<1 \frac{1}{2} < \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 1} < 1

REŠENJE ZADATKA

Dati sistem dvostruke nejednačine možemo razbiti na dva dela koja moraju istovremeno biti ispunjena:

{x2−4x+4x2+1>12x2−4x+4x2+1<1\begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 1} > \frac{1}{2} \\ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 1} < 1 \end{cases}

Primetimo da je imenilac x2+1 x^2 + 1 uvek pozitivan za svako realno x, x , jer je x2≥0. x^2 \ge 0 . To znači da možemo pomnožiti obe nejednačine sa x2+1 x^2 + 1 bez promene znaka nejednakosti.

x2+1>0,∀x∈Rx^2 + 1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Rešavamo prvu nejednačinu množenjem sa 2(x2+1): 2(x^2 + 1) :

2(x2−4x+4)>x2+12x2−8x+8>x2+1x2−8x+7>02(x^2 - 4x + 4) > x^2 + 1 \\ 2x^2 - 8x + 8 > x^2 + 1 \\ x^2 - 8x + 7 > 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma x2−8x+7: x^2 - 8x + 7 :

x1,2=8±64−282=8±62x1=1,x2=7x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 7
x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,7)x \in (1, 7)
x∈(7,+∞)x \in (7, +\infty)
x2−8x+7x^2 - 8x + 7
++
−-
++

Rešenje prve nejednačine je:

x∈(−∞,1)∪(7,+∞)x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu množenjem sa x2+1: x^2 + 1 :

x2−4x+4<x2+1−4x+4<1−4x<−3x>34x^2 - 4x + 4 < x^2 + 1 \\ -4x + 4 < 1 \\ -4x < -3 \\ x > \frac{3}{4}

Sada tražimo presek rešenja prve i druge nejednačine:

x∈((−∞,1)∪(7,+∞))∩(34,+∞)x \in ((-\infty, 1) \cup (7, +\infty)) \cap (\frac{3}{4}, +\infty)

Konačno rešenje sistema je unija intervala koji zadovoljavaju oba uslova:

x∈(34,1)∪(7,+∞)x \in (\frac{3}{4}, 1) \cup (7, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti