Podeli

650.
Kvadratna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x^5+8,7x^4+22,7x^3+22,7x^2+8,7x+1=0

REŠENJE ZADATKA

Pretvoriti decimalne brojeve u razlomke.

x^5+\frac{87}{10}x^4+\frac{227}{10}x^3+\frac{227}{10}x^2+\frac{87}{10}x+1=0

Pomnožiti izraz sa $10:$

10x^5+87x^4+227x^3+227x^2+87x+10=0

Podeliti polinom $10x^5+87x^4+227x^3+227x^2+87x+10$ sa $x+1$ kako bi se dobila jednačina sa parnim stepenom:

(x+1)(10x^4+77x^3+150x^2+77x+10)=0

Podeliti jednačinu sa $x^2, \ x\not=0.$

(x+1)\bigg(10x^2+77x+150+\frac{77}x+\frac{10}{x^2}\bigg)=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(x+1)\bigg(\frac{10x^4}{x^2}+\frac{77x^3}{x^2}+\frac{150x^2}{x^2}+\frac{77x}{x^2}+\frac{10}{x^2}\bigg)=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

(x+1)\bigg(10\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)+77\big(x+\frac{1}x\big)+150\bigg)=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(x+1)\bigg(10x^2+\frac{10}{x^2}+77x+\frac{77}x+150\bigg)=0

Jednačina ima dva rešenja:

x+1=0 \quad\lor\quad 10\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)+77\big(x+\frac{1}x\big)+150=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-1

Uvesti smenu $x+\frac 1x=t$ kako bi se dobilo rešenje druge jednačine.

10t^2+77t+130=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

x^2+\frac 1 {x^2}=\bigg(x+\frac 1x\bigg)^2-2=t^2-2

10(t^2-2)+77t+150=0

10t^2-20+77t+150=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=10,$ $b=77$ i $c=130$

t_{1,2}=\frac {-77\pm\sqrt{77^2-4\cdot10\cdot130}} {2\cdot10} \implies t_1=-\frac {26}5, \quad t_2=-\frac52

Vratiti smenu $x+\frac 1x=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x+\frac 1x=-\frac {26}5 \quad\lor\quad x+\frac 1x=-\frac52

Rešavanjem jednačina dobija se rešenje druge jednačine:

x=-5 \quad\lor\quad x=-\frac 15 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac 12

DODATNO OBJAŠNJENJE

x+\frac 1x+\frac {26}5=0 \quad\lor\quad x+\frac 1x+\frac52=0

5x^2+26x+5=0 \quad\lor\quad 2x^2+5x+2=0

Konačno rešenje:

x=-1 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=-\frac 15 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac 12

650.Kvadratna jednačina