TEKST ZADATKA
Dokazati da funkcija f(x)=(x−1)(x−3)+m(x−2)(x−4) ima nule u skupu R za sve m∈R, m=−1.
REŠENJE ZADATKA
Da bismo odredili nule funkcije, rešavamo jednačinu f(x)=0:
(x−1)(x−3)+m(x−2)(x−4)=0 Množimo binome u zagradama:
(x2−4x+3)+m(x2−6x+8)=0 Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove uz iste stepene nepoznate x:
(1+m)x2−(4+6m)x+(3+8m)=0 Kako je po uslovu zadatka m=−1, koeficijent uz x2 je različit od nule, pa je dobijena jednačina kvadratna. Kvadratna jednačina ima realna rešenja ako i samo ako je njena diskriminanta nenegativna (D≥0). Računamo diskriminantu:
D=b2−4ac=(−(4+6m))2−4(1+m)(3+8m) Kvadriramo binom i množimo izraze:
D=(16+48m+36m2)−4(3+8m+3m+8m2) Sređujemo izraz za diskriminantu:
D=16+48m+36m2−12−44m−32m2 Nakon oduzimanja sličnih članova dobijamo:
D=4m2+4m+4 Izvlačimo zajednički činilac:
D=4(m2+m+1) Izraz u zagradi možemo svesti na kanonski oblik (dopuniti do potpunog kvadrata):
m2+m+1=(m+21)2−41+1=(m+21)2+43 Kako je kvadrat svakog realnog broja nenegativan, važi (m+21)2≥0, pa je izraz u zagradi uvek strogo pozitivan. Zbog toga je i diskriminanta strogo pozitivna:
D=4((m+21)2+43)>0za svako m∈R Pošto je diskriminanta strogo pozitivna za svako m∈R, kvadratna jednačina uvek ima dva različita realna rešenja, čime je dokazano da funkcija ima nule u skupu R.