1427.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi z+z‾ z + \overline{z} i z⋅z‾ z \cdot \overline{z} realni.

z∈Cz \in \mathbb{C}
REŠENJE ZADATKA

Prvo uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja z, z , gde su a a i b b realni brojevi, a i i imaginarna jedinica.

z=a+bi,a,b∈Rz = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R}

Zapisujemo konjugovano kompleksni broj z‾, \overline{z} , koji se dobija promenom znaka imaginarnog dela broja z. z .

z‾=a−bi\overline{z} = a - bi

Dokazujemo da je zbir z+z‾ z + \overline{z} realan broj tako što sabiramo njihove realne i imaginarne delove.

z+z‾=(a+bi)+(a−bi)z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi)

Sređivanjem izraza vidimo da se imaginarni delovi poništavaju.

z+z‾=a+a+bi−bi=2az + \overline{z} = a + a + bi - bi = 2a

Pošto je a∈R, a \in \mathbb{R} , sledi da je i 2a∈R. 2a \in \mathbb{R} . Time je prvi deo dokazan.

z+z‾=2Re(z)∈Rz + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \in \mathbb{R}

Zatim dokazujemo da je proizvod z⋅z‾ z \cdot \overline{z} realan broj koristeći formulu za razliku kvadrata.

z⋅z‾=(a+bi)(a−bi)z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi)

Primenjujemo pravilo množenja i koristimo činjenicu da je i2=−1. i^2 = -1 .

z⋅z‾=a2−(bi)2=a2−b2i2=a2−b2(−1)=a2+b2z \cdot \overline{z} = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2

Kako su a a i b b realni brojevi, njihov zbir kvadrata je takođe realan broj. Time je i drugi deo dokazan.

z⋅z‾=∣z∣2=a2+b2∈Rz \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti