1498.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine:

x2+2x+7x2+2x+3=x2+2x+4\frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4
REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da se izraz x2+2x x^2 + 2x ponavlja u svim delovima jednačine. Uvodimo smenu t=x2+2x. t = x^2 + 2x .

t=x2+2xt = x^2 + 2x

Zamenom smene u polaznu jednačinu, dobijamo racionalnu jednačinu po promenljivoj t: t :

t+7t+3=t+4\frac{t + 7}{t + 3} = t + 4

Da bismo rešili jednačinu, množimo obe strane sa t+3 t + 3 uz uslov da je t+3≠0, t + 3 \neq 0 , odnosno t≠−3. t \neq -3 .

t+7=(t+4)(t+3)t + 7 = (t + 4)(t + 3)

Množimo binome na desnoj strani i sređujemo jednačinu.

t+7=t2+3t+4t+12t + 7 = t^2 + 3t + 4t + 12

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

t2+6t+5=0t^2 + 6t + 5 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći formulu ili faktorizaciju.

t1=−1,t2=−5t_1 = -1, \quad t_2 = -5

Sada vraćamo smenu za prvi slučaj t=−1: t = -1 :

x2+2x=−1  ⟹  x2+2x+1=0x^2 + 2x = -1 \implies x^2 + 2x + 1 = 0

Ova jednačina je kvadrat binoma (x+1)2=0, (x+1)^2 = 0 , odakle dobijamo dvostruko realno rešenje:

x1,2=−1x_{1,2} = -1

Vraćamo smenu za drugi slučaj t=−5: t = -5 :

x2+2x=−5  ⟹  x2+2x+5=0x^2 + 2x = -5 \implies x^2 + 2x + 5 = 0

Računamo diskriminantu ove kvadratne jednačine.

D=22−4⋅1⋅5=4−20=−16D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

Pošto je diskriminanta negativna, rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi.

x3,4=−2±−162=−2±4i2=−1±2ix_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{−1,−1+2i,−1−2i}x \in \{-1, -1 + 2i, -1 - 2i\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti